Contoh soal mtk kelas 11 semester 1 beserta jawabannya smk

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan

Matematika seringkali menjadi mata pelajaran yang menantang bagi sebagian siswa SMK. Namun, pemahaman yang kuat terhadap konsep-konsep dasar matematika sangat krusial, tidak hanya untuk kelancaran studi di tingkat selanjutnya, tetapi juga untuk bekal dalam dunia kerja yang semakin berbasis teknologi dan analitis. Semester 1 di Kelas 11 SMK biasanya mencakup materi-materi fundamental yang akan menjadi fondasi bagi topik yang lebih kompleks di semester berikutnya.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda, para siswa SMK, dalam mempersiapkan diri menghadapi ujian dan menguasai materi Matematika Kelas 11 Semester 1. Kami akan menyajikan berbagai contoh soal yang relevan dengan kurikulum SMK, lengkap dengan pembahasan mendalam untuk setiap soalnya. Dengan memahami setiap langkah dan logika di balik penyelesaian, diharapkan Anda dapat membangun kepercayaan diri dan kemampuan dalam mengerjakan soal-soal serupa.

Topik Utama Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah kejuruan, beberapa topik utama yang umumnya dibahas di Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK meliputi:

1. Logaritma: Konsep dasar logaritma, sifat-sifat logaritma, persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
2. Fungsi Eksponen dan Logaritma: Grafik fungsi eksponen dan logaritma, aplikasi dalam model pertumbuhan dan peluruhan.
3. Trigonometri: Ukuran sudut (derajat dan radian), identitas trigonometri, grafik fungsi trigonometri, aplikasi dalam segitiga.
4. Barisan dan Deret: Barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, deret geometri, tak hingga.
5. Statistika Dasar: Ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku), tabel distribusi frekuensi, histogram.

Mari kita selami contoh-contoh soal dari topik-topik tersebut.

>

Bagian 1: Logaritma dan Fungsi Eksponen

Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jika $a^b = c$, maka $log_a c = b$. Memahami sifat-sifat logaritma sangat penting untuk menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan.

Contoh Soal 1.1:

Hitunglah nilai dari:
$$ fraclog_3 81 – log_3 9log_3 27 $$

Pembahasan:

Pertama, kita ubah setiap bilangan menjadi bentuk pangkat dari basis logaritma yang sama:

• $81 = 3^4$
• $9 = 3^2$
• $27 = 3^3$

Mengganti nilai-nilai ini ke dalam soal:
$$ fraclog_3 3^4 – log_3 3^2log_3 3^3 $$

Menggunakan sifat logaritma $log_a a^n = n$:
$$ frac4 – 23 $$

Melakukan perhitungan:
$$ frac23 $$

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah $frac23$.

Contoh Soal 1.2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma:
$$ log(x+2) + log(x-1) = 1 $$
(dengan basis logaritma 10)

Pembahasan:

Syarat agar logaritma terdefinisi adalah argumennya harus positif:

• $x+2 > 0 implies x > -2$
• $x-1 > 0 implies x > 1$
  Jadi, syarat gabungannya adalah $x > 1$.

Menggunakan sifat logaritma $log A + log B = log(A cdot B)$:
$$ log((x+2)(x-1)) = 1 $$

Karena basis logaritma adalah 10, maka $1 = log_10 10$.
$$ log((x+2)(x-1)) = log 10 $$

Karena kedua sisi memiliki basis logaritma yang sama, kita dapat menyamakan argumennya:
$$ (x+2)(x-1) = 10 $$

Jabarkan dan susun menjadi persamaan kuadrat:
$$ x^2 – x + 2x – 2 = 10 $$
$$ x^2 + x – 2 – 10 = 0 $$
$$ x^2 + x – 12 = 0 $$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$$ (x+4)(x-3) = 0 $$

Dapatkan nilai-nilai $x$:

• $x+4 = 0 implies x = -4$
• $x-3 = 0 implies x = 3$

Periksa terhadap syarat awal $x > 1$.

• $x = -4$ tidak memenuhi syarat $x > 1$.
• $x = 3$ memenuhi syarat $x > 1$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $3$.

Contoh Soal 1.3:

Sebuah koloni bakteri berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap jam. Jika pada awal pengamatan terdapat 100 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 5 jam?

Pembahasan:

Ini adalah contoh aplikasi fungsi eksponensial. Misalkan $N(t)$ adalah jumlah bakteri setelah $t$ jam, dan $N_0$ adalah jumlah bakteri awal. Karena jumlahnya berlipat ganda setiap jam, modelnya adalah:
$$ N(t) = N_0 cdot 2^t $$

Diketahui:

• $N_0 = 100$ (jumlah bakteri awal)
• $t = 5$ jam (waktu pengamatan)

Substitusikan nilai-nilai ke dalam rumus:
$$ N(5) = 100 cdot 2^5 $$

Hitung $2^5$:
$2^5 = 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 32$

Hitung jumlah bakteri setelah 5 jam:
$$ N(5) = 100 cdot 32 = 3200 $$

Jadi, jumlah bakteri setelah 5 jam adalah 3200 ekor.

>

Bagian 2: Trigonometri

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Konsep ini sangat penting dalam berbagai bidang teknik dan fisika.

Contoh Soal 2.1:

Ubahlah sudut $120^circ$ ke dalam satuan radian.

Pembahasan:

Untuk mengubah derajat ke radian, kita gunakan faktor konversi: $180^circ = pi$ radian.
Maka, $1^circ = fracpi180$ radian.

Untuk mengubah $120^circ$ ke radian:
$$ 120^circ times fracpi180^circ text radian $$

Sederhanakan pecahan:
$$ frac120180 pi text radian = frac1218 pi text radian = frac23 pi text radian $$

Jadi, $120^circ$ sama dengan $frac2pi3$ radian.

Contoh Soal 2.2:

Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan sudut siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari $sin C$ dan $tan A$.

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan teorema Pythagoras: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$$ AC^2 = 8^2 + 6^2 $$
$$ AC^2 = 64 + 36 $$
$$ AC^2 = 100 $$
$$ AC = sqrt100 = 10 text cm $$

Sekarang kita bisa menentukan nilai perbandingan trigonometri:

• Untuk $sin C$:
  Dalam segitiga siku-siku, $sin$ suatu sudut adalah perbandingan antara sisi di depan sudut tersebut dengan sisi miring.
  Sisi di depan sudut C adalah AB, dan sisi miringnya adalah AC.
  $$ sin C = fractextSisi depan CtextSisi miring = fracABAC = frac810 = frac45 $$

• Untuk $tan A$:
  Dalam segitiga siku-siku, $tan$ suatu sudut adalah perbandingan antara sisi di depan sudut tersebut dengan sisi samping sudut tersebut.
  Sisi di depan sudut A adalah BC, dan sisi samping sudut A adalah AB.
  $$ tan A = fractextSisi depan AtextSisi samping A = fracBCAB = frac68 = frac34 $$

Jadi, $sin C = frac45$ dan $tan A = frac34$.

Contoh Soal 2.3:

Tentukan nilai dari:
$$ sin 30^circ + cos 60^circ – tan 45^circ $$

Pembahasan:

Kita perlu mengetahui nilai-nilai trigonometri dasar untuk sudut-sudut istimewa:

• $sin 30^circ = frac12$
• $cos 60^circ = frac12$
• $tan 45^circ = 1$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
$$ frac12 + frac12 – 1 $$

Lakukan perhitungan:
$$ 1 – 1 = 0 $$

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah 0.

>

Bagian 3: Barisan dan Deret

Barisan adalah urutan bilangan, sedangkan deret adalah jumlah dari suku-suku barisan. Kita akan fokus pada barisan dan deret aritmetika dan geometri.

Contoh Soal 3.1:

Diketahui barisan aritmetika: 5, 11, 17, 23, …
Tentukan suku ke-15 dari barisan tersebut.

Pembahasan:

Ini adalah barisan aritmetika karena selisih antara suku-suku berurutan adalah konstan.
Suku pertama ($a$) = 5.
Beda (d) = $11 – 5 = 6$.

Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah:
$$ U_n = a + (n-1)d $$

Kita ingin mencari suku ke-15 ($n=15$):
$$ U15 = 5 + (15-1) cdot 6 $$
$$ U15 = 5 + (14) cdot 6 $$
$$ U15 = 5 + 84 $$
$$ U15 = 89 $$

Jadi, suku ke-15 dari barisan tersebut adalah 89.

Contoh Soal 3.2:

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian $frac23$ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah total panjang lintasan bola sampai berhenti?

Pembahasan:

Panjang lintasan bola terdiri dari dua bagian: saat turun dan saat naik setelah memantul.

• Lintasan Turun Pertama: 10 meter.
• Lintasan Naik Pertama: $10 times frac23$ meter.
• Lintasan Turun Kedua: $10 times frac23$ meter.
• Lintasan Naik Kedua: $(10 times frac23) times frac23 = 10 times (frac23)^2$ meter.
• Dan seterusnya.

Total panjang lintasan adalah:
$$ L = 10 + left(10 cdot frac23 + 10 cdot frac23right) + left(10 cdot (frac23)^2 + 10 cdot (frac23)^2right) + dots $$
$$ L = 10 + 2 cdot left(10 cdot frac23 + 10 cdot (frac23)^2 + 10 cdot (frac23)^3 + dots right) $$

Perhatikan bagian dalam kurung: $10 cdot frac23 + 10 cdot (frac23)^2 + dots$. Ini adalah deret geometri tak hingga dengan:

• Suku pertama ($a$) = $10 cdot frac23 = frac203$
• Rasio ($r$) = $frac23$

Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah $S_infty = fraca1-r$, jika $|r| < 1$.
Dalam kasus ini, $|r| = |frac23| < 1$, jadi deret ini konvergen.

Jumlah deret geometri tak hingga dari ketinggian pantulan adalah:
$$ S_infty = fracfrac2031 – frac23 = fracfrac203frac13 = 20 $$

Jadi, total panjang lintasan bola adalah:
$$ L = 10 + 2 cdot S_infty $$
$$ L = 10 + 2 cdot 20 $$
$$ L = 10 + 40 = 50 text meter $$

Jadi, total panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 50 meter.

>

Bagian 4: Statistika Dasar

Statistika adalah ilmu yang mempelajari cara mengumpulkan, mengorganisasi, menyajikan, menganalisis, dan menginterpretasikan data.

Contoh Soal 4.1:

Dari data hasil ulangan harian Matematika kelas XI SMK adalah sebagai berikut:
7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 7, 9

Tentukan nilai rata-rata (mean), median, dan modus dari data tersebut.

Pembahasan:

Pertama, urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar:
5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

• Rata-rata (Mean):
  Jumlahkan semua nilai data, lalu bagi dengan jumlah data.
  Jumlah data (n) = 15
  Jumlah nilai = $5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 9 = 111$
  $$ textMean = fracsum x_in = frac11115 = 7.4 $$

• Median:
  Median adalah nilai tengah dari data yang sudah diurutkan. Karena jumlah data ganjil (15), median adalah data ke-($fracn+12$).
  Data ke-($frac15+12$) = Data ke-8.
  Dalam data yang sudah diurutkan: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9
  Median = 7.

• Modus:
  Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data.
  Mari kita hitung frekuensi masing-masing nilai:

  • 5: 1 kali
  • 6: 2 kali
  • 7: 5 kali
  • 8: 4 kali
  • 9: 3 kali
    Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (sebanyak 5 kali).
    Modus = 7.

Jadi, rata-rata = 7.4, median = 7, dan modus = 7.

Contoh Soal 4.2:

Diberikan tabel distribusi frekuensi nilai ulangan 40 siswa:

Nilai	Frekuensi
50 – 59	3
60 – 69	7
70 – 79	15
80 – 89	10
90 – 99	5

Tentukan rata-rata (mean) dari data tersebut.

Pembahasan:

Untuk data berkelompok, kita perlu mencari titik tengah setiap kelas interval. Titik tengah ($x_i$) dihitung dengan rumus: $x_i = fractextBatas Bawah + textBatas Atas2$.

Nilai	Frekuensi ($f_i$)	Titik Tengah ($x_i$)	$f_i cdot x_i$
50 – 59	3	$frac50+592 = 54.5$	$3 times 54.5 = 163.5$
60 – 69	7	$frac60+692 = 64.5$	$7 times 64.5 = 451.5$
70 – 79	15	$frac70+792 = 74.5$	$15 times 74.5 = 1117.5$
80 – 89	10	$frac80+892 = 84.5$	$10 times 84.5 = 845.0$
90 – 99	5	$frac90+992 = 94.5$	$5 times 94.5 = 472.5$
Total	40		3050.0

Rumus rata-rata untuk data berkelompok adalah:
$$ textMean = fracsum (f_i cdot x_i)sum f_i $$

$$ textMean = frac3050.040 = 76.25 $$

Jadi, rata-rata nilai ulangan dari 40 siswa tersebut adalah 76.25.

>

Penutup

Mempelajari contoh soal dan pembahasannya adalah salah satu cara paling efektif untuk menguasai materi Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK. Dengan latihan yang konsisten dan pemahaman yang mendalam terhadap setiap konsep, Anda akan lebih siap menghadapi berbagai tantangan akademis.

Ingatlah bahwa matematika bukanlah sekadar menghafal rumus, melainkan memahami logika di baliknya. Teruslah berlatih, jangan ragu bertanya kepada guru atau teman, dan bangun kepercayaan diri Anda. Semoga artikel ini memberikan manfaat dan menjadi bekal berharga dalam perjalanan belajar Anda. Selamat belajar dan sukses!

>