Contoh soal mtk kelas 11 semester 1 smk

Menguasai Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Matematika, seringkali dianggap sebagai momok bagi sebagian siswa, sebenarnya merupakan kunci penting untuk membuka berbagai pintu peluang di dunia teknik dan vokasi. Di jenjang SMK, pemahaman matematika yang kokoh tidak hanya membantu dalam menyelesaikan soal ujian, tetapi juga menjadi fondasi krusial dalam memahami konsep-konsep teknis yang lebih spesifik pada program keahlian masing-masing. Semester 1 kelas 11 menjadi masa krusial untuk memantapkan dasar-dasar matematika yang akan dibawa hingga akhir masa studi dan bahkan dunia kerja.

Artikel ini akan mengajak Anda menyelami materi-materi penting Matematika Kelas 11 Semester 1 untuk SMK, dilengkapi dengan contoh-contoh soal yang bervariasi dan pembahasan mendalam. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya hafal rumus, tetapi benar-benar memahami konsep di baliknya, sehingga mampu memecahkan berbagai permasalahan matematika yang mungkin dihadapi.

Pokok Bahasan Utama Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK

Meskipun kurikulum dapat sedikit bervariasi antar sekolah dan program keahlian, beberapa topik umum yang hampir selalu diajarkan di Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK meliputi:

1. Program Linear Dua Variabel: Meliputi konsep pertidaksamaan linear, menentukan daerah himpunan penyelesaian (HP), dan optimasi (nilai maksimum/minimum) menggunakan metode grafik.
2. Matriks: Meliputi operasi dasar matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, perkalian matriks), transpose matriks, determinan, dan invers matriks.
3. Transformasi Geometri: Meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan dilatasi (perbesaran/pengecilan), serta aplikasinya dalam bentuk matriks.

Mari kita bedah satu per satu topik tersebut dengan contoh soalnya.

>

1. Program Linear Dua Variabel

Program linear adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimal (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi linear, dengan memperhatikan batasan-batasan yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Konsep ini sangat relevan dalam berbagai aplikasi bisnis, ekonomi, dan teknik untuk alokasi sumber daya yang efisien.

Konsep Kunci:

• Pertidaksamaan Linear Dua Variabel: Bentuk umum $ax + by leq c$, $ax + by geq c$, $ax + by < c$, atau $ax + by > c$.
• Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (HP):
  • Ubah pertidaksamaan menjadi persamaan untuk menggambar garis batas.
  • Tentukan dua titik yang dilalui garis tersebut (misalnya, saat $x=0$ dan saat $y=0$).
  • Gunakan titik uji (biasanya $(0,0)$) untuk menentukan sisi mana dari garis yang memenuhi pertidaksamaan. Jika $(0,0)$ memenuhi, maka daerah yang mengandung $(0,0)$ adalah HP. Jika tidak, maka sebaliknya.
  • Garis tegas digunakan untuk $leq$ dan $geq$, sedangkan garis putus-putus untuk $<$ dan $>$.
• Fungsi Objektif: Fungsi linear yang ingin dioptimalkan, biasanya berbentuk $f(x,y) = px + qy$.
• Nilai Optimum: Dicari pada titik-titik sudut (titik potong garis-garis batas) dari daerah HP.

Contoh Soal 1:

Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:
$x + y leq 6$
$2x + y geq 4$
$x geq 0$
$y geq 0$

Pembahasan:

Kita akan menggambar garis batas untuk setiap pertidaksamaan:

• Garis 1: $x + y = 6$

  • Jika $x = 0$, maka $y = 6$. Titik: $(0, 6)$
  • Jika $y = 0$, maka $x = 6$. Titik: $(6, 0)$
  • Uji titik $(0,0)$: $0 + 0 leq 6$ (Benar). Maka, daerah HP berada di bawah atau pada garis $x+y=6$.

• Garis 2: $2x + y = 4$

  • Jika $x = 0$, maka $y = 4$. Titik: $(0, 4)$
  • Jika $y = 0$, maka $2x = 4 implies x = 2$. Titik: $(2, 0)$
  • Uji titik $(0,0)$: $2(0) + 0 geq 4 implies 0 geq 4$ (Salah). Maka, daerah HP berada di atas atau pada garis $2x+y=4$.

• Garis 3: $x = 0$ (Sumbu Y)

  • $x geq 0$ berarti daerah HP berada di kanan atau pada sumbu Y.

• Garis 4: $y = 0$ (Sumbu X)

  • $y geq 0$ berarti daerah HP berada di atas atau pada sumbu X.

Daerah HP adalah daerah yang memenuhi keempat kondisi tersebut. Ini akan menjadi poligon dengan titik-titik sudut yang perlu diidentifikasi. Titik-titik sudutnya adalah perpotongan garis-garis batas.

• Titik sudut 1: Perpotongan $x=0$ dan $2x+y=4$. Substitusi $x=0$ ke $2x+y=4 implies y=4$. Titik: $(0, 4)$.
• Titik sudut 2: Perpotongan $x=0$ dan $x+y=6$. Substitusi $x=0$ ke $x+y=6 implies y=6$. Titik: $(0, 6)$.
• Titik sudut 3: Perpotongan $y=0$ dan $x+y=6$. Substitusi $y=0$ ke $x+y=6 implies x=6$. Titik: $(6, 0)$.
• Titik sudut 4: Perpotongan $y=0$ dan $2x+y=4$. Substitusi $y=0$ ke $2x+y=4 implies 2x=4 implies x=2$. Titik: $(2, 0)$.
• Titik sudut 5: Perpotongan $x+y=6$ dan $2x+y=4$.
  • Kurangkan persamaan kedua dengan persamaan pertama: $(2x+y) – (x+y) = 4 – 6 implies x = -2$.
  • Karena $x geq 0$, perpotongan ini tidak termasuk dalam daerah HP yang dibatasi oleh $x geq 0$ dan $y geq 0$.

Mari kita periksa kembali titik-titik sudut yang relevan dalam kuadran pertama ($x geq 0, y geq 0$):

• Titik A: Perpotongan $x=0$ dan $2x+y=4$, yaitu $(0, 4)$.
• Titik B: Perpotongan $x+y=6$ dan $x=0$, yaitu $(0, 6)$.
• Titik C: Perpotongan $x+y=6$ dan $y=0$, yaitu $(6, 0)$.
• Titik D: Perpotongan $2x+y=4$ dan $y=0$, yaitu $(2, 0)$.

Perlu diingat bahwa kita mencari daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Jadi, daerah HP adalah segiempat yang dibatasi oleh titik-titik $(0,4)$, $(0,6)$, $(6,0)$, dan $(2,0)$, dengan memperhatikan arah tanda pertidaksamaan.

Contoh Soal 2 (Optimasi):

Sebuah pabrik memproduksi dua jenis barang, A dan B. Untuk memproduksi barang A dibutuhkan 2 jam mesin dan 1 kg bahan baku. Untuk memproduksi barang B dibutuhkan 1 jam mesin dan 2 kg bahan baku. Ketersediaan mesin adalah 100 jam per hari, dan bahan baku adalah 80 kg per hari. Jika keuntungan untuk setiap unit barang A adalah Rp 50.000 dan untuk barang B adalah Rp 40.000, tentukan jumlah produksi setiap jenis barang agar diperoleh keuntungan maksimum!

Pembahasan:

Misalkan:

• $x$ = jumlah produksi barang A
• $y$ = jumlah produksi barang B

Fungsi objektif (keuntungan): $f(x,y) = 50000x + 40000y$

Batasan-batasan:

1. Batasan mesin: $2x + y leq 100$
2. Batasan bahan baku: $x + 2y leq 80$
3. Jumlah produksi tidak negatif: $x geq 0$, $y geq 0$

Kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah HP yang dibentuk oleh pertidaksamaan ini.
Garis batas:

1. $2x + y = 100$
   • $(0, 100)$ dan $(50, 0)$
2. $x + 2y = 80$
   • $(0, 40)$ dan $(80, 0)$

Titik sudut:

• Titik O: $(0, 0)$
• Titik A: Perpotongan $x=0$ dan $x+2y=80 implies (0, 40)$
• Titik B: Perpotongan $2x+y=100$ dan $x+2y=80$.
  • Kalikan persamaan pertama dengan 2: $4x + 2y = 200$
  • Kurangkan dengan persamaan kedua: $(4x+2y) – (x+2y) = 200 – 80 implies 3x = 120 implies x = 40$.
  • Substitusi $x=40$ ke $2x+y=100 implies 2(40) + y = 100 implies 80 + y = 100 implies y = 20$.
  • Jadi, titik B adalah $(40, 20)$.
• Titik C: Perpotongan $y=0$ dan $2x+y=100 implies (50, 0)$

Evaluasi fungsi objektif di setiap titik sudut:

• $f(0,0) = 50000(0) + 40000(0) = 0$
• $f(0,40) = 50000(0) + 40000(40) = 1.600.000$
• $f(40,20) = 50000(40) + 40000(20) = 2.000.000 + 800.000 = 2.800.000$
• $f(50,0) = 50000(50) + 40000(0) = 2.500.000$

Keuntungan maksimum diperoleh saat memproduksi 40 unit barang A dan 20 unit barang B, dengan keuntungan sebesar Rp 2.800.000.

>

2. Matriks

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks memiliki banyak aplikasi dalam sains, teknik, komputer, dan ekonomi, termasuk dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, transformasi geometri, dan analisis data.

Konsep Kunci:

• Ordo Matriks: Jumlah baris $times$ jumlah kolom.
• Jenis Matriks: Matriks persegi, matriks baris, matriks kolom, matriks diagonal, matriks identitas, matriks nol.
• Operasi Dasar:
  • Penjumlahan/Pengurangan: Dilakukan jika ordo kedua matriks sama. Elemen yang dijumlahkan/dikurangkan adalah elemen pada posisi yang sama.
  • Perkalian Skalar: Mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar.
  • Perkalian Matriks: Dilakukan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Elemen pada baris $i$ dan kolom $j$ dari hasil perkalian adalah jumlah dari perkalian elemen-elemen pada baris $i$ matriks pertama dengan elemen-elemen pada kolom $j$ matriks kedua.
• Transpose Matriks ($A^T$): Baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
• Determinan Matriks (det(A) atau |A|): Nilai skalar yang terkait dengan matriks persegi. Untuk matriks 2×2: $beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, determinannya adalah $ad – bc$. Untuk matriks 3×3, digunakan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor.
• Invers Matriks ($A^-1$): Matriks yang jika dikalikan dengan matriks aslinya menghasilkan matriks identitas. Hanya matriks persegi yang determinannya tidak nol yang memiliki invers. Untuk matriks 2×2: $A^-1 = frac1ad-bc beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.

Contoh Soal 3:

Diberikan matriks $A = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix$. Tentukan:
a. $A + B$
b. $3A – B^T$
c. $A times B$

Pembahasan:

a. $A + B$
Ordo matriks A dan B sama (2×2), sehingga bisa dijumlahkan.
$A + B = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix + beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 2+1 & -1+5 3+(-2) & 4+0 endpmatrix = beginpmatrix 3 & 4 1 & 4 endpmatrix$

b. $3A – B^T$
Pertama, hitung $3A$:
$3A = 3 times beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 3 times 2 & 3 times (-1) 3 times 3 & 3 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 6 & -3 9 & 12 endpmatrix$

Kedua, hitung $B^T$:
$B^T = beginpmatrix 1 & -2 5 & 0 endpmatrix$

Ketiga, hitung $3A – B^T$:
$3A – B^T = beginpmatrix 6 & -3 9 & 12 endpmatrix – beginpmatrix 1 & -2 5 & 0 endpmatrix = beginpmatrix 6-1 & -3-(-2) 9-5 & 12-0 endpmatrix = beginpmatrix 5 & -1 4 & 12 endpmatrix$

c. $A times B$
Ordo matriks A adalah 2×2 dan ordo matriks B adalah 2×2. Jumlah kolom A (2) sama dengan jumlah baris B (2), sehingga perkalian bisa dilakukan. Ordo hasil perkalian adalah 2×2.
$A times B = beginpmatrix 2 & -1 3 & 4 endpmatrix beginpmatrix 1 & 5 -2 & 0 endpmatrix$

Elemen baris 1, kolom 1: $(2 times 1) + (-1 times -2) = 2 + 2 = 4$
Elemen baris 1, kolom 2: $(2 times 5) + (-1 times 0) = 10 + 0 = 10$
Elemen baris 2, kolom 1: $(3 times 1) + (4 times -2) = 3 – 8 = -5$
Elemen baris 2, kolom 2: $(3 times 5) + (4 times 0) = 15 + 0 = 15$

Jadi, $A times B = beginpmatrix 4 & 10 -5 & 15 endpmatrix$

Contoh Soal 4 (Determinan dan Invers):

Diketahui matriks $C = beginpmatrix 3 & 2 1 & 4 endpmatrix$. Tentukan:
a. Determinan matriks C.
b. Invers matriks C.
c. Gunakan invers matriks C untuk menyelesaikan sistem persamaan linear:
$3x + 2y = 10$
$x + 4y = 5$

Pembahasan:

a. Determinan matriks C:
det(C) = $(3 times 4) – (2 times 1) = 12 – 2 = 10$.

b. Invers matriks C:
Karena det(C) = 10 $neq$ 0, matriks C memiliki invers.
$C^-1 = frac1det(C) beginpmatrix 4 & -2 -1 & 3 endpmatrix = frac110 beginpmatrix 4 & -2 -1 & 3 endpmatrix = beginpmatrix 4/10 & -2/10 -1/10 & 3/10 endpmatrix = beginpmatrix 0.4 & -0.2 -0.1 & 0.3 endpmatrix$.

c. Menyelesaikan SPL dengan invers matriks:
Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks $CX = B$, di mana:
$C = beginpmatrix 3 & 2 1 & 4 endpmatrix$, $X = beginpmatrix x y endpmatrix$, $B = beginpmatrix 10 5 endpmatrix$.

Solusinya adalah $X = C^-1B$.
$X = beginpmatrix 0.4 & -0.2 -0.1 & 0.3 endpmatrix beginpmatrix 10 5 endpmatrix$

$x = (0.4 times 10) + (-0.2 times 5) = 4 + (-1) = 3$
$y = (-0.1 times 10) + (0.3 times 5) = -1 + 1.5 = 0.5$

Jadi, solusi sistem persamaan linear tersebut adalah $x=3$ dan $y=0.5$.

>

3. Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah perubahan posisi, ukuran, atau bentuk suatu objek geometris. Dalam matematika, transformasi geometri seringkali direpresentasikan menggunakan matriks, yang memungkinkan kita untuk melakukan beberapa transformasi secara berurutan dengan efisien.

Konsep Kunci:

• Translasi (Pergeseran): Memindahkan objek sejauh vektor tertentu. Tidak bisa direpresentasikan dengan matriks perkalian sederhana (kecuali menggunakan matriks homogen).
• Refleksi (Pencerminan): Mencerminkan objek terhadap garis atau titik tertentu.
  • Terhadap sumbu X: $beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix$
  • Terhadap sumbu Y: $beginpmatrix -1 & 0 0 & 1 endpmatrix$
  • Terhadap garis $y=x$: $beginpmatrix 0 & 1 1 & 0 endpmatrix$
  • Terhadap garis $y=-x$: $beginpmatrix 0 & -1 -1 & 0 endpmatrix$
  • Terhadap titik asal (0,0): $beginpmatrix -1 & 0 0 & -1 endpmatrix$
• Rotasi (Perputaran): Memutar objek mengelilingi suatu titik pusat dengan sudut tertentu.
  • Rotasi sebesar $theta$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal: $beginpmatrix cos theta & -sin theta sin theta & cos theta endpmatrix$
• Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan): Mengubah ukuran objek dengan faktor skala tertentu terhadap suatu titik pusat.
  • Dilatasi dengan faktor skala $k$ terhadap titik asal: $beginpmatrix k & 0 0 & k endpmatrix$

Contoh Soal 5:

Titik $P(2, -3)$ ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix 4 1 endpmatrix$, kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan bayangan akhir dari titik P!

Pembahasan:

Langkah 1: Translasi
Titik $P(2, -3)$ ditranslasikan oleh $beginpmatrix 4 1 endpmatrix$.
Bayangan P setelah translasi, sebut saja $P’$, adalah:
$P’ = (2+4, -3+1) = (6, -2)$.

Langkah 2: Refleksi terhadap sumbu X
Titik $P'(6, -2)$ dicerminkan terhadap sumbu X. Rumus refleksi terhadap sumbu X adalah $(x, y) rightarrow (x, -y)$.
Bayangan akhir dari P, sebut saja $P”$, adalah:
$P” = (6, -(-2)) = (6, 2)$.

Jadi, bayangan akhir dari titik P adalah $(6, 2)$.

Contoh Soal 6:

Tentukan bayangan titik $A(1, 5)$ jika dirotasikan sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik asal.

Pembahasan:

Langkah 1: Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.
Matriks rotasi untuk 90 derajat adalah $beginpmatrix cos 90^circ & -sin 90^circ sin 90^circ & cos 90^circ endpmatrix = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix$.
Koordinat titik A dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom: $beginpmatrix 1 5 endpmatrix$.
Bayangan A setelah rotasi, sebut saja $A’$, adalah:
$A’ = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix beginpmatrix 1 5 endpmatrix = beginpmatrix (0 times 1) + (-1 times 5) (1 times 1) + (0 times 5) endpmatrix = beginpmatrix -5 1 endpmatrix$.
Jadi, $A'(-5, 1)$.

Langkah 2: Dilatasi dengan faktor skala 3 terhadap titik asal.
Matriks dilatasi dengan faktor skala $k=3$ adalah $beginpmatrix 3 & 0 0 & 3 endpmatrix$.
Bayangan akhir dari A, sebut saja $A”$, adalah:
$A” = beginpmatrix 3 & 0 0 & 3 endpmatrix beginpmatrix -5 1 endpmatrix = beginpmatrix (3 times -5) + (0 times 1) (0 times -5) + (3 times 1) endpmatrix = beginpmatrix -15 3 endpmatrix$.
Jadi, $A”(-15, 3)$.

Alternatif penyelesaian untuk rotasi dan dilatasi yang berpusat di titik asal:
Kita bisa mengalikan matriks transformasi secara berurutan. Matriks gabungan T = Dilatasi $times$ Rotasi.
$T = beginpmatrix 3 & 0 0 & 3 endpmatrix beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix = beginpmatrix (3 times 0) + (0 times 1) & (3 times -1) + (0 times 0) (0 times 0) + (3 times 1) & (0 times -1) + (3 times 0) endpmatrix = beginpmatrix 0 & -3 3 & 0 endpmatrix$.
Bayangan akhir $A” = T beginpmatrix 1 5 endpmatrix = beginpmatrix 0 & -3 3 & 0 endpmatrix beginpmatrix 1 5 endpmatrix = beginpmatrix (0 times 1) + (-3 times 5) (3 times 1) + (0 times 5) endpmatrix = beginpmatrix -15 3 endpmatrix$.
Hasilnya sama, $A”(-15, 3)$.

>

Penutup

Memahami dan menguasai materi Matematika Kelas 11 Semester 1 SMK adalah investasi berharga untuk masa depan pendidikan dan karir Anda. Topik seperti program linear, matriks, dan transformasi geometri bukan hanya sekadar pelajaran, tetapi alat yang ampuh untuk memecahkan masalah di dunia nyata, terutama dalam bidang teknik dan vokasi.

Latihan soal secara konsisten adalah kunci. Jangan ragu untuk mencoba berbagai variasi soal, diskusikan dengan teman atau guru jika ada kesulitan. Ingatlah bahwa matematika dibangun dari pemahaman konsep-konsep dasar. Dengan pemahaman yang kuat, Anda akan lebih percaya diri dalam menghadapi berbagai tantangan matematika di jenjang selanjutnya. Selamat belajar dan semoga sukses!

>