Contoh soal mtk kelas 9 semester 1 tentang rotasi dilatasi

Menguasai Transformasi Geometri: Panduan Lengkap Contoh Soal Rotasi dan Dilatasi Matematika Kelas 9 Semester 1

Transformasi geometri merupakan salah satu topik fundamental dalam pembelajaran Matematika di jenjang SMP, khususnya di kelas 9 semester 1. Topik ini membuka wawasan kita tentang bagaimana sebuah objek dapat berpindah, berubah ukuran, atau berputar pada sebuah bidang datar. Di antara berbagai jenis transformasi, rotasi (perputaran) dan dilatasi (perbesaran/pengecilan) seringkali menjadi fokus utama dalam soal-soal ujian. Memahami konsep dan cara penyelesaiannya akan sangat membantu siswa dalam meraih nilai optimal.

Artikel ini akan menjadi panduan lengkap bagi Anda, para siswa kelas 9, dalam menguasai rotasi dan dilatasi. Kita akan mengupas tuntas konsep dasar, rumus-rumus penting, dan yang terpenting, menyajikan berbagai contoh soal yang bervariasi, lengkap dengan pembahasan langkah demi langkah. Dengan pemahaman yang mendalam dan latihan yang cukup, Anda dijamin akan merasa lebih percaya diri dalam menghadapi soal-soal transformasi geometri.

A. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang datar dengan memutarnya mengelilingi suatu titik pusat rotasi dengan besar sudut dan arah tertentu. Arah rotasi dapat searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Elemen-elemen Rotasi:

1. Titik Pusat Rotasi (P): Titik acuan di mana perputaran terjadi.
2. Sudut Rotasi ($theta$): Besarnya perputaran. Sudut positif biasanya menyatakan rotasi berlawanan arah jarum jam, sedangkan sudut negatif (atau searah jarum jam) menyatakan rotasi searah jarum jam.
3. Arah Rotasi: Searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam.

Rumus Rotasi:

Misalkan sebuah titik $A(x, y)$ dirotasikan sebesar $theta$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik asal $O(0,0)$, maka bayangannya $A'(x’, y’)$ adalah:

$x’ = x cos theta – y sin theta$
$y’ = x sin theta + y cos theta$

Kasus Khusus Rotasi:

• Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0):
  $A(x, y) rightarrow A'(-y, x)$

• Rotasi 180° terhadap O(0,0):
  $A(x, y) rightarrow A'(-x, -y)$

• Rotasi 270° berlawanan arah jarum jam (atau 90° searah jarum jam) terhadap O(0,0):
  $A(x, y) rightarrow A'(y, -x)$

• Rotasi terhadap titik pusat P(a,b):
  Untuk merotasi titik $A(x, y)$ sebesar $theta$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $P(a,b)$, kita dapat melakukan langkah berikut:

  1. Translasi titik $A$ sehingga pusat rotasi $P$ berimpit dengan titik asal $O$. Titik $A$ menjadi $A”(x-a, y-b)$.
  2. Rotasikan titik $A”$ sebesar $theta$ terhadap titik asal $O$ menghasilkan $A”'(x”, y”)$. Gunakan rumus rotasi terhadap titik asal.
  3. Translasi kembali titik $A”’$ sejauh $(a, b)$ untuk mendapatkan bayangan akhir $A'(x’, y’)$.
     Secara rumus:
     $x’ = a + (x-a) cos theta – (y-b) sin theta$
     $y’ = b + (x-a) sin theta + (y-b) cos theta$

Contoh Soal Rotasi:

Soal 1: Tentukan bayangan titik $A(3, 2)$ setelah dirotasikan sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus kasus khusus rotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap $O(0,0)$.
Titik $A(x, y) = A(3, 2)$.
Rumusnya adalah $A'(x’, y’) = (-y, x)$.
Maka, $x’ = -2$ dan $y’ = 3$.
Jadi, bayangan titik $A$ adalah $A'(-2, 3)$.

Soal 2: Tentukan bayangan titik $B(-1, 4)$ setelah dirotasikan sebesar 180° terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus kasus khusus rotasi 180° terhadap $O(0,0)$.
Titik $B(x, y) = B(-1, 4)$.
Rumusnya adalah $B'(x’, y’) = (-x, -y)$.
Maka, $x’ = -(-1) = 1$ dan $y’ = -4$.
Jadi, bayangan titik $B$ adalah $B'(1, -4)$.

Soal 3: Tentukan bayangan titik $C(2, -5)$ setelah dirotasikan sebesar 90° searah jarum jam terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Rotasi 90° searah jarum jam sama dengan rotasi 270° berlawanan arah jarum jam.
Titik $C(x, y) = C(2, -5)$.
Rumusnya adalah $C'(x’, y’) = (y, -x)$.
Maka, $x’ = -5$ dan $y’ = -2$.
Jadi, bayangan titik $C$ adalah $C'(-5, -2)$.

Soal 4: Tentukan bayangan titik $D(4, 1)$ setelah dirotasikan sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat $P(2, 3)$.

Pembahasan:
Kita akan menggunakan rumus rotasi terhadap titik pusat $P(a,b)$.
Titik $D(x, y) = D(4, 1)$.
Pusat rotasi $P(a, b) = P(2, 3)$.
Sudut rotasi $theta = 90°$ berlawanan arah jarum jam.
Maka, $cos 90° = 0$ dan $sin 90° = 1$.

Rumusnya:
$x’ = a + (x-a) cos theta – (y-b) sin theta$
$y’ = b + (x-a) sin theta + (y-b) cos theta$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
$x’ = 2 + (4-2) cos 90° – (1-3) sin 90°$
$x’ = 2 + (2)(0) – (-2)(1)$
$x’ = 2 + 0 + 2$
$x’ = 4$

$y’ = 3 + (4-2) sin 90° + (1-3) cos 90°$
$y’ = 3 + (2)(1) + (-2)(0)$
$y’ = 3 + 2 + 0$
$y’ = 5$

Jadi, bayangan titik $D$ adalah $D'(4, 5)$.

B. Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun geometri dengan faktor skala tertentu terhadap suatu titik pusat dilatasi. Jika faktor skala lebih besar dari 1, maka bangun akan membesar. Jika faktor skala antara 0 dan 1, maka bangun akan mengecil. Jika faktor skala negatif, maka bangun akan mengalami perbesaran/pengecilan dan juga pencerminan terhadap titik pusat.

Elemen-elemen Dilatasi:

1. Titik Pusat Dilatasi (P): Titik acuan di mana perbesaran/pengecilan terjadi.
2. Faktor Skala (k): Bilangan yang menentukan perbesaran atau pengecilan.

Rumus Dilatasi:

Misalkan sebuah titik $A(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $O(0,0)$, maka bayangannya $A'(x’, y’)$ adalah:

$x’ = kx$
$y’ = ky$

• Dilatasi terhadap titik pusat P(a,b):
  Untuk mendilatasi titik $A(x, y)$ dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $P(a,b)$, kita dapat melakukan langkah berikut:
  1. Translasi titik $A$ sehingga pusat dilatasi $P$ berimpit dengan titik asal $O$. Titik $A$ menjadi $A”(x-a, y-b)$.
  2. Dilatasi titik $A”$ dengan faktor skala $k$ terhadap titik asal $O$ menghasilkan $A”'(x”, y”)$. Gunakan rumus dilatasi terhadap titik asal.
  3. Translasi kembali titik $A”’$ sejauh $(a, b)$ untuk mendapatkan bayangan akhir $A'(x’, y’)$.
     Secara rumus:
     $x’ = a + k(x-a)$
     $y’ = b + k(y-b)$

Contoh Soal Dilatasi:

Soal 5: Tentukan bayangan titik $E(2, 3)$ setelah didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Kita menggunakan rumus dilatasi terhadap titik asal $O(0,0)$.
Titik $E(x, y) = E(2, 3)$.
Faktor skala $k = 3$.
Rumusnya adalah $E'(x’, y’) = (kx, ky)$.
Maka, $x’ = 3 times 2 = 6$ dan $y’ = 3 times 3 = 9$.
Jadi, bayangan titik $E$ adalah $E'(6, 9)$.

Soal 6: Tentukan bayangan titik $F(-4, 6)$ setelah didilatasikan dengan faktor skala $frac12$ terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Kita menggunakan rumus dilatasi terhadap titik asal $O(0,0)$.
Titik $F(x, y) = F(-4, 6)$.
Faktor skala $k = frac12$.
Rumusnya adalah $F'(x’, y’) = (kx, ky)$.
Maka, $x’ = frac12 times (-4) = -2$ dan $y’ = frac12 times 6 = 3$.
Jadi, bayangan titik $F$ adalah $F'(-2, 3)$.

Soal 7: Tentukan bayangan titik $G(1, -2)$ setelah didilatasikan dengan faktor skala -2 terhadap titik asal $O(0,0)$.

Pembahasan:
Kita menggunakan rumus dilatasi terhadap titik asal $O(0,0)$.
Titik $G(x, y) = G(1, -2)$.
Faktor skala $k = -2$.
Rumusnya adalah $G'(x’, y’) = (kx, ky)$.
Maka, $x’ = -2 times 1 = -2$ dan $y’ = -2 times (-2) = 4$.
Jadi, bayangan titik $G$ adalah $G'(-2, 4)$.

Soal 8: Tentukan bayangan titik $H(5, -1)$ setelah didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat $P(1, 4)$.

Pembahasan:
Kita akan menggunakan rumus dilatasi terhadap titik pusat $P(a,b)$.
Titik $H(x, y) = H(5, -1)$.
Pusat dilatasi $P(a, b) = P(1, 4)$.
Faktor skala $k = 2$.

Rumusnya:
$x’ = a + k(x-a)$
$y’ = b + k(y-b)$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
$x’ = 1 + 2(5-1)$
$x’ = 1 + 2(4)$
$x’ = 1 + 8$
$x’ = 9$

$y’ = 4 + 2(-1-4)$
$y’ = 4 + 2(-5)$
$y’ = 4 – 10$
$y’ = -6$

Jadi, bayangan titik $H$ adalah $H'(9, -6)$.

C. Kombinasi Soal Rotasi dan Dilatasi (Lebih Lanjut)

Dalam beberapa kasus, soal bisa saja mengombinasikan kedua jenis transformasi ini, atau membutuhkan pemahaman lebih dalam tentang sifat-sifatnya.

Soal 9: Titik $K(4, -3)$ dirotasikan 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, kemudian bayangannya didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik asal. Tentukan koordinat akhir bayangan titik $K$.

Pembahasan:
Langkah 1: Rotasi titik $K(4, -3)$ sebesar 90° berlawanan arah jarum jam terhadap $O(0,0)$.
Menggunakan rumus $K'(x’, y’) = (-y, x)$.
$K'(-(-3), 4) = K'(3, 4)$.

Langkah 2: Dilatasi bayangan $K'(3, 4)$ dengan faktor skala 2 terhadap $O(0,0)$.
Menggunakan rumus $K”(x”, y”) = (kx’, ky’)$.
$K”(2 times 3, 2 times 4) = K”(6, 8)$.

Jadi, koordinat akhir bayangan titik $K$ adalah $(6, 8)$.

Soal 10: Sebuah segitiga $ABC$ memiliki titik-titik sudut $A(1, 2)$, $B(4, 1)$, dan $C(2, 5)$. Segitiga ini didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik asal, kemudian bayangannya dirotasikan 180° terhadap titik asal. Tentukan koordinat titik-titik sudut segitiga hasil transformasi akhir.

Pembahasan:
Kita akan kerjakan per titik.

Titik A(1, 2):
Langkah 1: Dilatasi $A(1, 2)$ dengan $k=3$ terhadap $O(0,0)$.
$A'(x’, y’) = (3 times 1, 3 times 2) = (3, 6)$.

Langkah 2: Rotasi $A'(3, 6)$ sebesar 180° terhadap $O(0,0)$.
$A”(x”, y”) = (-x’, -y’) = (-3, -6)$.

Titik B(4, 1):
Langkah 1: Dilatasi $B(4, 1)$ dengan $k=3$ terhadap $O(0,0)$.
$B'(x’, y’) = (3 times 4, 3 times 1) = (12, 3)$.

Langkah 2: Rotasi $B'(12, 3)$ sebesar 180° terhadap $O(0,0)$.
$B”(x”, y”) = (-x’, -y’) = (-12, -3)$.

Titik C(2, 5):
Langkah 1: Dilatasi $C(2, 5)$ dengan $k=3$ terhadap $O(0,0)$.
$C'(x’, y’) = (3 times 2, 3 times 5) = (6, 15)$.

Langkah 2: Rotasi $C'(6, 15)$ sebesar 180° terhadap $O(0,0)$.
$C”(x”, y”) = (-x’, -y’) = (-6, -15)$.

Jadi, koordinat titik-titik sudut segitiga hasil transformasi akhir adalah $A”(-3, -6)$, $B”(-12, -3)$, dan $C”(-6, -15)$.

Kesimpulan

Rotasi dan dilatasi adalah dua transformasi geometri yang penting dan sering diujikan. Dengan memahami konsep dasar, menguasai rumus-rumus yang ada, dan berlatih dengan berbagai contoh soal, Anda akan dapat menyelesaikan soal-soal ini dengan mudah. Ingatlah untuk selalu memperhatikan titik pusat dan arah rotasi, serta faktor skala pada dilatasi.

Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mencari sumber belajar tambahan jika diperlukan. Semoga panduan ini bermanfaat dan membawa Anda menuju kesuksesan dalam memahami transformasi geometri!

>