Contoh soal mtk wajib kelas 10 semester 1

Menguasai Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Memasuki jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) membawa tantangan baru, tak terkecuali dalam mata pelajaran Matematika Wajib. Di kelas 10 semester 1, materi yang disajikan menjadi fondasi penting untuk pemahaman konsep matematika yang lebih kompleks di jenjang selanjutnya. Menguasai materi ini tidak hanya penting untuk nilai rapor, tetapi juga untuk membangun kemampuan berpikir logis, analitis, dan problem-solving yang esensial di era modern.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda menaklukkan materi Matematika Wajib kelas 10 semester 1. Kita akan menjelajahi berbagai tipe soal yang umum muncul, disertai dengan pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Dengan memahami contoh-contoh soal ini secara mendalam, Anda diharapkan dapat meningkatkan kepercayaan diri dan kesiapan dalam menghadapi ulangan harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), hingga Penilaian Akhir Semester (PAS).

Mari kita mulai petualangan kita dalam dunia angka dan logika!

Bagian 1: Fungsi Linear dan Grafiknya

Salah satu konsep fundamental yang akan Anda pelajari di awal semester adalah fungsi linear. Fungsi linear adalah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus. Memahami konsep ini akan membuka pintu untuk mempelajari fungsi-fungsi yang lebih kompleks di kemudian hari.

Konsep Kunci:

• Bentuk Umum: Fungsi linear umumnya dinyatakan dalam bentuk $f(x) = mx + c$ atau $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan garis) dan $c$ adalah titik potong sumbu-y.
• Gradien (m): Menunjukkan seberapa curam garis tersebut. Gradien positif berarti garis naik dari kiri ke kanan, gradien negatif berarti garis turun dari kiri ke kanan, gradien nol berarti garis sejajar sumbu-x, dan gradien tak terdefinisi berarti garis sejajar sumbu-y. Gradien dapat dihitung dari dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ menggunakan rumus $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$.
• Titik Potong Sumbu-y (c): Adalah nilai $y$ ketika $x = 0$.
• Menggambar Grafik: Untuk menggambar grafik fungsi linear, kita perlu menentukan minimal dua titik yang memenuhi persamaan. Titik-titik ini kemudian dihubungkan menjadi sebuah garis lurus.

Contoh Soal 1:

Tentukan gradien dan titik potong sumbu-y dari fungsi linear $f(x) = 3x – 5$. Gambarlah grafiknya pada bidang Kartesius.

Pembahasan:

1. Identifikasi Gradien (m):
   Fungsi linear diberikan dalam bentuk $f(x) = mx + c$. Dalam kasus ini, $f(x) = 3x – 5$.
   Maka, $m = 3$. Gradiennya adalah 3.

2. Identifikasi Titik Potong Sumbu-y (c):
   Dari bentuk $f(x) = 3x – 5$, kita dapat melihat bahwa $c = -5$.
   Titik potong sumbu-y adalah $(0, -5)$.

3. Menentukan Titik Lain untuk Menggambar Grafik:
   Kita sudah memiliki satu titik, yaitu $(0, -5)$. Untuk menentukan titik lain, kita bisa memilih nilai $x$ sembarang. Misalkan kita pilih $x = 1$.
   $f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = -2$.
   Jadi, titik kedua adalah $(1, -2)$.

   Kita bisa memilih nilai $x$ lain, misalnya $x = 2$.
   $f(2) = 3(2) – 5 = 6 – 5 = 1$.
   Jadi, titik ketiga adalah $(2, 1)$.

4. Menggambar Grafik:
   Pada bidang Kartesius, tandai titik $(0, -5)$, $(1, -2)$, dan $(2, 1)$. Kemudian, hubungkan ketiga titik tersebut dengan garis lurus. Garis ini akan memiliki kemiringan positif karena gradiennya positif, dan akan memotong sumbu-y di titik $(0, -5)$.

Contoh Soal 2:

Tentukan persamaan fungsi linear yang melalui titik $(2, 7)$ dan $(4, 13)$.

Pembahasan:

1. Hitung Gradien (m):
   Kita memiliki dua titik: $(x_1, y_1) = (2, 7)$ dan $(x_2, y_2) = (4, 13)$.
   Menggunakan rumus gradien: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1 = frac13 – 74 – 2 = frac62 = 3$.
   Jadi, gradiennya adalah $m = 3$.

2. Tentukan Persamaan Fungsi Linear:
   Kita bisa menggunakan bentuk umum $y = mx + c$ atau $f(x) = mx + c$. Kita sudah tahu $m = 3$. Sekarang kita perlu mencari nilai $c$. Kita bisa menggunakan salah satu titik yang diketahui untuk substitusi. Mari kita gunakan titik $(2, 7)$.
   $y = mx + c$
   $7 = 3(2) + c$
   $7 = 6 + c$
   $c = 7 – 6$
   $c = 1$.

   Jadi, persamaan fungsi linearnya adalah $y = 3x + 1$ atau $f(x) = 3x + 1$.

   Kita bisa memeriksa dengan titik kedua $(4, 13)$:
   $13 = 3(4) + 1$
   $13 = 12 + 1$
   $13 = 13$. (Cocok)

Bagian 2: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

SPLDV adalah kumpulan dua atau lebih persamaan linear yang memiliki dua variabel. Menyelesaikan SPLDV berarti mencari pasangan nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Konsep Kunci:

• Bentuk Umum: Sistem dua persamaan linear dengan dua variabel $x$ dan $y$ umumnya dinyatakan sebagai:
  $ax + by = c$
  $dx + ey = f$
• Metode Penyelesaian:
  • Metode Substitusi: Mengganti salah satu variabel dari satu persamaan ke persamaan lain.
  • Metode Eliminasi: Menyamakan koefisien salah satu variabel agar dapat dihilangkan dengan cara penjumlahan atau pengurangan.
  • Metode Gabungan (Substitusi dan Eliminasi): Menggabungkan kedua metode untuk mempermudah penyelesaian.
  • Metode Grafik: Menggambar grafik kedua persamaan. Titik potong kedua grafik adalah solusi dari sistem tersebut.
• Solusi:
  • Satu Solusi: Jika kedua garis berpotongan di satu titik.
  • Tidak Ada Solusi: Jika kedua garis sejajar (tidak berpotongan).
  • Tak Terhingga Banyak Solusi: Jika kedua garis berimpit.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi:
1) $x + 2y = 5$
2) $3x – y = 1$

Pembahasan:

1. Ubah Salah Satu Persamaan untuk Mendapatkan Salah Satu Variabel:
   Dari persamaan (1), kita bisa ubah menjadi $x = 5 – 2y$.

2. Substitusikan ke Persamaan Lain:
   Substitusikan $x = 5 – 2y$ ke dalam persamaan (2):
   $3(5 – 2y) – y = 1$

3. Selesaikan untuk Variabel yang Tersisa:
   $15 – 6y – y = 1$
   $15 – 7y = 1$
   $-7y = 1 – 15$
   $-7y = -14$
   $y = frac-14-7$
   $y = 2$.

4. Substitusikan Nilai Variabel yang Ditemukan ke Persamaan Awal untuk Mencari Variabel Lain:
   Sekarang kita tahu $y = 2$. Substitusikan nilai ini ke dalam $x = 5 – 2y$:
   $x = 5 – 2(2)$
   $x = 5 – 4$
   $x = 1$.

5. Tulis Himpunan Penyelesaian:
   Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (1, 2)$.

Contoh Soal 4:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi:
1) $2x + 3y = 10$
2) $x – y = -1$

Pembahasan:

1. Samakan Koefisien Salah Satu Variabel:
   Kita bisa menyamakan koefisien $x$ atau $y$. Mari kita samakan koefisien $x$. Kalikan persamaan (2) dengan 2:
   Persamaan (1): $2x + 3y = 10$
   Persamaan (2) dikali 2: $2(x – y) = 2(-1) Rightarrow 2x – 2y = -2$.

2. Eliminasi Variabel yang Koefisiennya Sama:
   Kurangi persamaan (1) dengan persamaan (2) yang sudah dimodifikasi:
   $(2x + 3y) – (2x – 2y) = 10 – (-2)$
   $2x + 3y – 2x + 2y = 10 + 2$
   $5y = 12$
   $y = frac125$.

3. Substitusikan Nilai Variabel yang Ditemukan ke Salah Satu Persamaan Awal:
   Kita tahu $y = frac125$. Substitusikan ke persamaan (2): $x – y = -1$.
   $x – frac125 = -1$
   $x = -1 + frac125$
   $x = -frac55 + frac125$
   $x = frac75$.

4. Tulis Himpunan Penyelesaian:
   Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y) = (frac75, frac125)$.

Bagian 3: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pernyataan matematika yang membandingkan dua ekspresi linear menggunakan simbol ketidaksamaan seperti $<$, $>$, $le$, atau $ge$.

Konsep Kunci:

• Simbol Ketidaksamaan:
  • $<$ : kurang dari
  • $>$ : lebih dari
  • $le$ : kurang dari atau sama dengan
  • $ge$ : lebih dari atau sama dengan
• Aturan Penting Saat Menyelesaikan Pertidaksamaan:
  • Jika kedua sisi pertidaksamaan dijumlah atau dikurangi dengan bilangan yang sama, arah pertidaksamaan tidak berubah.
  • Jika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, arah pertidaksamaan tidak berubah.
  • Jika kedua sisi pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, arah pertidaksamaan HARUS dibalik.

Contoh Soal 5:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut dalam bentuk notasi himpunan dan interval:
$4(x – 2) + 3 le 2x + 5$

Pembahasan:

1. Sederhanakan Pertidaksamaan:
   Buka kurung pada sisi kiri:
   $4x – 8 + 3 le 2x + 5$
   $4x – 5 le 2x + 5$

2. Pindahkan Suku-suku yang Mengandung Variabel ke Satu Sisi dan Konstanta ke Sisi Lain:
   Kurangi kedua sisi dengan $2x$:
   $4x – 2x – 5 le 5$
   $2x – 5 le 5$

   Tambahkan kedua sisi dengan 5:
   $2x le 5 + 5$
   $2x le 10$

3. Selesaikan untuk Variabel:
   Bagi kedua sisi dengan 2 (bilangan positif, jadi arah pertidaksamaan tidak berubah):
   $x le frac102$
   $x le 5$

4. Tulis dalam Notasi Himpunan dan Interval:

   • Notasi Himpunan: $x mid x le 5, x in mathbbR$ (dibaca: himpunan $x$ sedemikian sehingga $x$ kurang dari atau sama dengan 5, dengan $x$ adalah anggota bilangan real).
   • Notasi Interval: $(-infty, 5]$ (Artinya, semua bilangan real dari negatif tak hingga sampai 5, termasuk 5 itu sendiri).

Contoh Soal 6:

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut:
$3 – 2x > 7$

Pembahasan:

1. Pindahkan Konstanta ke Satu Sisi:
   Kurangi kedua sisi dengan 3:
   $-2x > 7 – 3$
   $-2x > 4$

2. Selesaikan untuk Variabel (Perhatikan Aturan Pembagian dengan Bilangan Negatif):
   Bagi kedua sisi dengan -2. Karena kita membagi dengan bilangan negatif, arah pertidaksamaan harus dibalik.
   $x < frac4-2$
   $x < -2$

3. Tulis dalam Notasi Interval:
   $(-infty, -2)$

Bagian 4: Konsep Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol pada garis bilangan, dan nilainya selalu non-negatif.

Konsep Kunci:

• Definisi:
  $|x| = begincases x & textjika x ge 0 -x & textjika x < 0 endcases$
• Contoh: $|5| = 5$, $|-3| = 3$, $|0| = 0$.
• Persamaan Nilai Mutlak:
  • Jika $|x| = a$ (dengan $a ge 0$), maka $x = a$ atau $x = -a$.
  • Jika $|ax + b| = c$ (dengan $c ge 0$), maka $ax + b = c$ atau $ax + b = -c$.
• Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
  • Jika $|x| < a$ (dengan $a > 0$), maka $-a < x < a$.
  • Jika $|x| > a$ (dengan $a > 0$), maka $x < -a$ atau $x > a$.

Contoh Soal 7:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut:
$|2x – 1| = 5$

Pembahasan:

1. Pisahkan Menjadi Dua Kasus:
   Berdasarkan definisi persamaan nilai mutlak, kita punya dua kemungkinan:
   Kasus 1: $2x – 1 = 5$
   Kasus 2: $2x – 1 = -5$

2. Selesaikan untuk Setiap Kasus:

   • Kasus 1:
     $2x – 1 = 5$
     $2x = 5 + 1$
     $2x = 6$
     $x = 3$

   • Kasus 2:
     $2x – 1 = -5$
     $2x = -5 + 1$
     $2x = -4$
     $x = -2$

3. Tulis Himpunan Penyelesaian:
   Himpunan penyelesaiannya adalah $-2, 3$.

Contoh Soal 8:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
$|x + 3| < 4$

Pembahasan:

1. Gunakan Aturan Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
   Untuk $|x| < a$, solusinya adalah $-a < x < a$.
   Dalam kasus ini, $x$ digantikan oleh $(x+3)$ dan $a$ adalah 4.
   Jadi, kita punya:
   $-4 < x + 3 < 4$

2. Selesaikan untuk Variabel (dengan Mengisolasi x di Tengah):
   Kurangi semua bagian dengan 3:
   $-4 – 3 < x + 3 – 3 < 4 – 3$
   $-7 < x < 1$

3. Tulis Himpunan Penyelesaian dalam Notasi Interval:
   $(-7, 1)$

Penutup

Mempelajari Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1 memang membutuhkan ketekunan dan pemahaman konsep yang baik. Dengan menguasai contoh-contoh soal yang telah dibahas di atas, Anda telah mengambil langkah besar untuk meraih kesuksesan dalam mata pelajaran ini. Ingatlah bahwa latihan adalah kunci. Teruslah berlatih dengan berbagai soal lain, jangan ragu untuk bertanya kepada guru atau teman jika ada kesulitan, dan tetap semangat!

Semoga artikel ini memberikan manfaat dan menjadi panduan yang berharga dalam perjalanan belajar Matematika Anda. Selamat belajar dan meraih prestasi terbaik!

>