Contoh soal mtk kelas 10 smk semester 1

Menguasai Angka dan Logika: Contoh Soal Matematika Kelas 10 SMK Semester 1

Memasuki jenjang Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) adalah langkah awal bagi banyak siswa untuk mempersiapkan diri memasuki dunia kerja atau melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi. Di antara berbagai mata pelajaran yang diajarkan, Matematika seringkali menjadi salah satu yang menantang sekaligus krusial. Khususnya di Kelas 10 SMK Semester 1, pemahaman konsep-konsep dasar matematika akan menjadi fondasi penting untuk materi-materi selanjutnya.

Artikel ini akan membahas berbagai contoh soal Matematika Kelas 10 SMK Semester 1, mencakup topik-topik utama yang umumnya diajarkan. Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran yang jelas mengenai jenis soal yang akan dihadapi siswa, strategi penyelesaiannya, serta memberikan latihan yang bervariasi. Dengan menguasai contoh-contoh soal ini, diharapkan siswa dapat membangun kepercayaan diri dan meningkatkan kemampuan analitis mereka.

Topik Utama Matematika Kelas 10 SMK Semester 1

Umumnya, materi Matematika Kelas 10 SMK Semester 1 berfokus pada beberapa bab penting, antara lain:

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar: Konsep perpangkatan, sifat-sifatnya, serta operasi pada bentuk akar.
2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear: Persamaan dan pertidaksamaan satu variabel, serta sistem persamaan linear dua variabel.
3. Fungsi Linear: Pengertian fungsi, domain, kodomain, range, serta grafik fungsi linear.
4. Trigonometri Dasar: Pengertian perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, serta nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa.
5. Logaritma: Pengertian logaritma, sifat-sifatnya, serta perhitungan sederhana.

Mari kita bedah contoh-contoh soal dari setiap topik tersebut.

>

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Topik ini menguji pemahaman siswa terhadap aturan-aturan perpangkatan dan bagaimana menyederhanakan ekspresi yang melibatkan akar.

Contoh Soal 1:
Sederhanakan bentuk $frac(2a^3b^-2)^24a^5b^-1$!

Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat:

• $(x^m)^n = x^m times n$
• $(xy)^n = x^n y^n$
• $fracx^mx^n = x^m-n$
• $x^-n = frac1x^n$

Langkah 1: Terapkan sifat $(x^m)^n = x^m times n$ pada pembilang:
$(2a^3b^-2)^2 = 2^2 times (a^3)^2 times (b^-2)^2 = 4 times a^3 times 2 times b^-2 times 2 = 4a^6b^-4$

Langkah 2: Substitusikan hasil ini kembali ke dalam ekspresi awal:
$frac4a^6b^-44a^5b^-1$

Langkah 3: Sederhanakan menggunakan sifat pembagian:
$frac44 times fraca^6a^5 times fracb^-4b^-1$
$= 1 times a^6-5 times b^-4 – (-1)$
$= a^1 times b^-4+1$
$= ab^-3$

Langkah 4: Ubah ke bentuk pangkat positif:
$ab^-3 = a times frac1b^3 = fracab^3$

Jadi, bentuk sederhana dari $frac(2a^3b^-2)^24a^5b^-1$ adalah $fracab^3$.

Contoh Soal 2:
Rasionalkan penyebut dari $frac23-sqrt5$!

Pembahasan:
Untuk merasionalkan penyebut yang berbentuk $a – sqrtb$ atau $a + sqrtb$, kita kalikan dengan bentuk sekawanannya, yaitu $a + sqrtb$ atau $a – sqrtb$ secara berturut-turut.

Kalikan $frac23-sqrt5$ dengan $frac3+sqrt53+sqrt5$:
$frac23-sqrt5 times frac3+sqrt53+sqrt5 = frac2(3+sqrt5)(3-sqrt5)(3+sqrt5)$

Pembilang: $2(3+sqrt5) = 6 + 2sqrt5$

Penyebut: Menggunakan sifat $(a-b)(a+b) = a^2 – b^2$
$(3-sqrt5)(3+sqrt5) = 3^2 – (sqrt5)^2 = 9 – 5 = 4$

Jadi, hasil rasionalisasinya adalah $frac6 + 2sqrt54$.
Ini dapat disederhanakan lagi dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 2:
$frac3 + sqrt52$

>

2. Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Bagian ini melibatkan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu.

Contoh Soal 3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $3(x-2) leq 2(x+1)$!

Pembahasan:
Kita perlu mengisolasi variabel $x$.

Langkah 1: Buka kurung pada kedua sisi:
$3x – 6 leq 2x + 2$

Langkah 2: Pindahkan suku-suku yang mengandung $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain. Kurangi kedua sisi dengan $2x$:
$3x – 2x – 6 leq 2x – 2x + 2$
$x – 6 leq 2$

Langkah 3: Tambahkan kedua sisi dengan 6:
$x – 6 + 6 leq 2 + 6$
$x leq 8$

Himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan real $x$ yang kurang dari atau sama dengan 8. Dalam notasi himpunan, ditulis sebagai $x mid x leq 8$.

Contoh Soal 4:
Tentukan nilai $x$ dan $y$ dari sistem persamaan linear berikut:
1) $2x + y = 7$
2) $x – 2y = -1$

Pembahasan:
Kita bisa menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Langkah 1: Kalikan persamaan (1) dengan 2 agar koefisien $y$ sama dengan persamaan (2) tetapi berlawanan tanda:
$2 times (2x + y = 7) Rightarrow 4x + 2y = 14$ (Persamaan 3)

Langkah 2: Tambahkan Persamaan (3) dengan Persamaan (2):
$(4x + 2y = 14)$
$+$ $(x – 2y = -1)$

$5x + 0y = 13$
$5x = 13$
$x = frac135$

Langkah 3: Substitusikan nilai $x = frac135$ ke salah satu persamaan awal, misalnya Persamaan (1):
$2x + y = 7$
$2(frac135) + y = 7$
$frac265 + y = 7$

Langkah 4: Cari nilai $y$:
$y = 7 – frac265$
$y = frac355 – frac265$
$y = frac95$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah $x = frac135$ dan $y = frac95$.

>

3. Fungsi Linear

Topik ini berkaitan dengan pemodelan hubungan linear dan representasinya dalam bentuk grafik.

Contoh Soal 5:
Diketahui fungsi $f(x) = 3x – 5$. Tentukan:
a) Nilai $f(4)$
b) Nilai $x$ jika $f(x) = 10$
c) Sketsa grafik fungsi $f(x)$

Pembahasan:

a) Nilai $f(4)$:
Substitusikan $x=4$ ke dalam fungsi $f(x)$:
$f(4) = 3(4) – 5 = 12 – 5 = 7$

b) Nilai $x$ jika $f(x) = 10$:
Atur $f(x)$ sama dengan 10 dan selesaikan untuk $x$:
$3x – 5 = 10$
$3x = 10 + 5$
$3x = 15$
$x = frac153 = 5$

c) Sketsa grafik fungsi $f(x)$:
Fungsi $f(x) = 3x – 5$ adalah fungsi linear. Bentuk umumnya adalah $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) dan $c$ adalah titik potong sumbu $y$.
Dalam kasus ini, $m=3$ dan $c=-5$.
Untuk membuat sketsa grafik, kita perlu setidaknya dua titik.

• Titik potong sumbu $y$ adalah saat $x=0$, maka $f(0) = 3(0) – 5 = -5$. Titik pertama adalah $(0, -5)$.
• Kita bisa memilih nilai $x$ lain, misalnya $x=1$, maka $f(1) = 3(1) – 5 = 3 – 5 = -2$. Titik kedua adalah $(1, -2)$.
• Atau kita bisa menggunakan titik dari bagian b), yaitu saat $f(x)=10$, $x=5$. Titik ketiga adalah $(5, 10)$.

Plot titik-titik ini pada sistem koordinat Kartesius dan tarik garis lurus yang menghubungkan titik-titik tersebut. Garis akan naik dari kiri ke kanan karena gradiennya positif.

(Visualisasi Sketsa Grafik)

• Sumbu X dan Sumbu Y digambar.
• Titik (0, -5) ditandai pada sumbu Y.
• Titik (1, -2) ditandai.
• Titik (5, 10) ditandai.
• Garis lurus ditarik melewati ketiga titik tersebut.

>

4. Trigonometri Dasar

Topik ini memperkenalkan dasar-dasar perbandingan sisi pada segitiga siku-siku dan nilai perbandingan untuk sudut-sudut tertentu.

Contoh Soal 6:
Dalam sebuah segitiga siku-siku ABC, siku-siku di B, diketahui panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 15 cm. Tentukan nilai dari:
a) $sin A$
b) $cos A$
c) $tan A$

Pembahasan:
Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring (hipotenusa) AC menggunakan teorema Pythagoras:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 15^2$
$AC^2 = 64 + 225$
$AC^2 = 289$
$AC = sqrt289 = 17$ cm

Sekarang, kita definisikan perbandingan trigonometri berdasarkan sudut A:

• Sisi depan sudut A adalah BC = 15 cm.
• Sisi samping sudut A adalah AB = 8 cm.
• Sisi miring (hipotenusa) adalah AC = 17 cm.

Perbandingan trigonometri didefinisikan sebagai:

• $sin A = fractextsisi depantextsisi miring = fracBCAC$
• $cos A = fractextsisi sampingtextsisi miring = fracABAC$
• $tan A = fractextsisi depantextsisi samping = fracBCAB$

a) $sin A = frac1517$

b) $cos A = frac817$

c) $tan A = frac158$

Contoh Soal 7:
Hitunglah nilai dari $sin 30^circ + cos 60^circ – tan 45^circ$!

Pembahasan:
Kita perlu mengetahui nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa:

• $sin 30^circ = frac12$
• $cos 60^circ = frac12$
• $tan 45^circ = 1$

Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi:
$sin 30^circ + cos 60^circ – tan 45^circ = frac12 + frac12 – 1$
$= 1 – 1 = 0$

>

5. Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, dan topik ini mencakup konsep dasar serta sifat-sifatnya.

Contoh Soal 8:
Tentukan nilai dari $log_2 16$!

Pembahasan:
Pertanyaan ini menanyakan: "2 pangkat berapa agar hasilnya 16?".
Kita bisa menuliskannya dalam bentuk pangkat: $2^x = 16$.
Mengetahui bahwa $2^4 = 16$, maka $x=4$.
Jadi, $log_2 16 = 4$.

Contoh Soal 9:
Sederhanakan bentuk $log_3 54 – log_3 2$ menggunakan sifat-sifat logaritma!

Pembahasan:
Kita gunakan sifat logaritma: $log_b M – log_b N = log_b left(fracMNright)$.
Dalam soal ini, $b=3$, $M=54$, dan $N=2$.

$log_3 54 – log_3 2 = log_3 left(frac542right)$
$= log_3 27$

Sekarang, kita hitung $log_3 27$. Pertanyaannya adalah "3 pangkat berapa agar hasilnya 27?".
Mengetahui bahwa $3^3 = 27$, maka hasilnya adalah 3.
Jadi, $log_3 54 – log_3 2 = 3$.

>

Pentingnya Latihan dan Pemahaman Konsep

Contoh-contoh soal di atas hanyalah sebagian kecil dari variasi yang mungkin dihadapi siswa. Kunci keberhasilan dalam Matematika adalah pemahaman konsep yang mendalam dan latihan soal yang konsisten. Jangan hanya menghafal rumus, tetapi pahami dari mana rumus tersebut berasal dan bagaimana cara mengaplikasikannya dalam berbagai konteks.

• Baca Ulang Materi: Setelah mengerjakan soal, jika ada kesalahan, kembali baca materi terkait untuk memperjelas konsep yang belum dipahami.
• Identifikasi Kesalahan: Ketahui di mana letak kesalahan Anda. Apakah pada pemahaman soal, penerapan rumus, atau perhitungan aritmatika?
• Cari Variasi Soal: Jangan terpaku pada satu jenis soal. Cari soal-soal dari buku paket, LKS, atau sumber daring yang memiliki tingkat kesulitan berbeda.
• Diskusi dengan Teman atau Guru: Jika ada soal yang sangat sulit, jangan ragu untuk berdiskusi dengan teman sekelas atau bertanya kepada guru. Penjelasan dari orang lain terkadang bisa membuka wawasan baru.

Matematika di Kelas 10 SMK Semester 1 memang dirancang untuk membangun fondasi yang kuat. Dengan pendekatan yang tepat, kegigihan dalam berlatih, dan kemauan untuk terus belajar, Anda pasti bisa menguasai materi ini dan meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar!

>