Book Appointment Now
Contoh soal mtk kelas 11 semester 1 beserta jawabannya
Menguasai Konsep: Contoh Soal Matematika Kelas 11 Semester 1 dan Pembahasannya Mendalam
Semester pertama di kelas 11 merupakan masa krusial dalam perjalanan akademik siswa SMA. Materi matematika yang disajikan biasanya semakin menantang dan membutuhkan pemahaman konsep yang kuat. Untuk membantu para siswa mempersiapkan diri secara optimal, artikel ini akan menyajikan serangkaian contoh soal matematika kelas 11 semester 1 beserta pembahasan mendalam. Dengan memahami contoh-contoh ini, diharapkan siswa dapat mengidentifikasi area yang perlu diperkuat dan membangun kepercayaan diri dalam menghadapi ujian.
Kita akan membahas beberapa topik penting yang umumnya tercakup dalam kurikulum matematika kelas 11 semester 1, seperti Fungsi, Trigonometri, Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, serta Vektor. Setiap contoh soal akan disertai dengan langkah-langkah penyelesaian yang jelas dan penjelasan mengapa setiap langkah diambil, sehingga siswa tidak hanya mendapatkan jawaban, tetapi juga memahami proses di baliknya.
Mari kita mulai!
Bagian 1: Fungsi
Fungsi adalah salah satu konsep fundamental dalam matematika. Di kelas 11, kita akan mendalami lebih jauh tentang berbagai jenis fungsi, operasi antar fungsi, dan komposisi fungsi.
Contoh Soal 1.1:
Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2 – 3$. Tentukan:
a. $(f+g)(x)$
b. $(f-g)(x)$
c. $(f cdot g)(x)$
d. $left(fracfgright)(x)$
e. $(f circ g)(x)$
f. $(g circ f)(x)$
Pembahasan:
Operasi antar fungsi dilakukan dengan cara yang mirip dengan operasi bilangan biasa, namun hasilnya adalah fungsi baru.
a. Penjumlahan Fungsi $(f+g)(x)$:
$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
$(f+g)(x) = (2x + 1) + (x^2 – 3)$
$(f+g)(x) = x^2 + 2x – 2$
b. Pengurangan Fungsi $(f-g)(x)$:
$(f-g)(x) = f(x) – g(x)$
$(f-g)(x) = (2x + 1) – (x^2 – 3)$
$(f-g)(x) = 2x + 1 – x^2 + 3$
$(f-g)(x) = -x^2 + 2x + 4$
c. Perkalian Fungsi $(f cdot g)(x)$:
$(f cdot g)(x) = f(x) cdot g(x)$
$(f cdot g)(x) = (2x + 1)(x^2 – 3)$
Untuk mengalikan, kita gunakan sifat distributif:
$(f cdot g)(x) = 2x(x^2 – 3) + 1(x^2 – 3)$
$(f cdot g)(x) = 2x^3 – 6x + x^2 – 3$
$(f cdot g)(x) = 2x^3 + x^2 – 6x – 3$
d. Pembagian Fungsi $left(fracfgright)(x)$:
$left(fracfgright)(x) = fracf(x)g(x)$
$left(fracfgright)(x) = frac2x + 1x^2 – 3$
Perlu diperhatikan bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga $x^2 – 3 neq 0$, yang berarti $x neq sqrt3$ dan $x neq -sqrt3$.
e. Komposisi Fungsi $(f circ g)(x)$:
$(f circ g)(x)$ dibaca "f komposisi g dari x", yang berarti kita substitusikan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Karena $f(x) = 2x + 1$, maka kita ganti setiap $x$ pada $f(x)$ dengan $g(x) = x^2 – 3$.
$(f circ g)(x) = 2(x^2 – 3) + 1$
$(f circ g)(x) = 2x^2 – 6 + 1$
$(f circ g)(x) = 2x^2 – 5$
f. Komposisi Fungsi $(g circ f)(x)$:
$(g circ f)(x)$ dibaca "g komposisi f dari x", yang berarti kita substitusikan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Karena $g(x) = x^2 – 3$, maka kita ganti setiap $x$ pada $g(x)$ dengan $f(x) = 2x + 1$.
$(g circ f)(x) = (2x + 1)^2 – 3$
$(g circ f)(x) = (4x^2 + 4x + 1) – 3$
$(g circ f)(x) = 4x^2 + 4x – 2$
Contoh Soal 1.2:
Tentukan invers dari fungsi $f(x) = frac3x – 2x + 4$.
Pembahasan:
Untuk mencari fungsi invers, kita ikuti langkah-langkah berikut:
- Ganti $f(x)$ dengan $y$.
- Tukar variabel $x$ dan $y$.
- Selesaikan persamaan untuk $y$.
- Ganti $y$ dengan $f^-1(x)$.
Langkah 1: Ganti $f(x)$ dengan $y$.
$y = frac3x – 2x + 4$
Langkah 2: Tukar variabel $x$ dan $y$.
$x = frac3y – 2y + 4$
Langkah 3: Selesaikan persamaan untuk $y$.
Kalikan kedua sisi dengan $(y+4)$:
$x(y + 4) = 3y – 2$
$xy + 4x = 3y – 2$
Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke satu sisi dan suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi lain:
$xy – 3y = -4x – 2$
Faktorkan $y$ dari suku di sisi kiri:
$y(x – 3) = -4x – 2$
Bagi kedua sisi dengan $(x-3)$:
$y = frac-4x – 2x – 3$
Langkah 4: Ganti $y$ dengan $f^-1(x)$.
$f^-1(x) = frac-4x – 2x – 3$
Kita juga bisa menulis ulang bentuknya dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan -1:
$f^-1(x) = frac-(-4x – 2)-(x – 3) = frac4x + 23 – x$
Bagian 2: Trigonometri
Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 11, kita akan membahas identitas trigonometri, persamaan trigonometri, serta aplikasi dalam segitiga.
Contoh Soal 2.1:
Sederhanakan bentuk $fracsin(2x)1 + cos(2x)$.
Pembahasan:
Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri. Identitas yang relevan adalah:
- $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$
- $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$ (atau $cos(2x) = 1 – 2 sin^2(x)$ atau $cos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x)$)
Kita pilih identitas $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$ karena $1 + cos(2x)$ akan menjadi $1 + (2 cos^2(x) – 1) = 2 cos^2(x)$.
Substitusikan identitas tersebut ke dalam ekspresi awal:
$fracsin(2x)1 + cos(2x) = frac2 sin(x) cos(x)1 + (2 cos^2(x) – 1)$
$fracsin(2x)1 + cos(2x) = frac2 sin(x) cos(x)2 cos^2(x)$
Sekarang, kita bisa membatalkan faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Kita bisa membatalkan $2$ dan $cos(x)$ (dengan asumsi $cos(x) neq 0$).
$frac2 sin(x) cos(x)2 cos^2(x) = fracsin(x)cos(x)$
Dan kita tahu bahwa $fracsin(x)cos(x) = tan(x)$.
Jadi, $fracsin(2x)1 + cos(2x) = tan(x)$.
Contoh Soal 2.2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $sin(x) = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.
Pembahasan:
Kita mencari sudut-sudut $x$ di kuadran mana saja yang nilai sinusnya adalah $frac12$.
Langkah 1: Cari sudut acuan.
Sudut yang nilai sinusnya $frac12$ adalah $30^circ$. Ini adalah sudut acuan kita.
Langkah 2: Identifikasi kuadran di mana sinus bernilai positif.
Nilai sinus positif berada di Kuadran I dan Kuadran II.
Langkah 3: Tentukan sudut di setiap kuadran.
-
Kuadran I: Sudutnya sama dengan sudut acuan.
$x_1 = 30^circ$ -
Kuadran II: Sudutnya adalah $180^circ$ dikurangi sudut acuan.
$x_2 = 180^circ – 30^circ = 150^circ$
Karena rentang yang diberikan adalah $0^circ le x le 360^circ$, kita hanya perlu memeriksa kedua kuadran ini.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $30^circ, 150^circ$.
Bagian 3: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari nol, sehingga selalu bernilai non-negatif. Persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak seringkali memiliki lebih dari satu solusi.
Contoh Soal 3.1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 5| = 7$.
Pembahasan:
Persamaan nilai mutlak $|A| = b$ (dengan $b ge 0$) memiliki dua kemungkinan solusi: $A = b$ atau $A = -b$.
Kasus 1: $2x – 5 = 7$
$2x = 7 + 5$
$2x = 12$
$x = frac122$
$x = 6$
Kasus 2: $2x – 5 = -7$
$2x = -7 + 5$
$2x = -2$
$x = frac-22$
$x = -1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $-1, 6$.
Contoh Soal 3.2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|3x + 1| < 5$.
Pembahasan:
Pertidaksamaan nilai mutlak $|A| < b$ (dengan $b > 0$) dapat ditulis sebagai $-b < A < b$.
Dalam kasus ini, $A = 3x + 1$ dan $b = 5$.
Maka, kita punya:
$-5 < 3x + 1 < 5$
Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan mengisolasi $x$. Pertama, kurangi semua bagian dengan 1:
$-5 – 1 < 3x + 1 – 1 < 5 – 1$
$-6 < 3x < 4$
Selanjutnya, bagi semua bagian dengan 3:
$frac-63 < frac3x3 < frac43$
$-2 < x < frac43$
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah interval $left(-2, frac43right)$.
Bagian 4: Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar (magnitude) dan arah. Di kelas 11, kita akan mempelajari operasi dasar vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan dot product.
Contoh Soal 4.1:
Diketahui vektor $mathbfa = beginpmatrix 3 -1 endpmatrix$ dan vektor $mathbfb = beginpmatrix -2 4 endpmatrix$. Tentukan:
a. $mathbfa + mathbfb$
b. $mathbfa – mathbfb$
c. $2mathbfa$
d. $mathbfa cdot mathbfb$
Pembahasan:
Operasi vektor dilakukan secara komponen demi komponen.
a. Penjumlahan Vektor $(mathbfa + mathbfb)$:
$mathbfa + mathbfb = beginpmatrix 3 -1 endpmatrix + beginpmatrix -2 4 endpmatrix = beginpmatrix 3 + (-2) -1 + 4 endpmatrix = beginpmatrix 1 3 endpmatrix$
b. Pengurangan Vektor $(mathbfa – mathbfb)$:
$mathbfa – mathbfb = beginpmatrix 3 -1 endpmatrix – beginpmatrix -2 4 endpmatrix = beginpmatrix 3 – (-2) -1 – 4 endpmatrix = beginpmatrix 3 + 2 -5 endpmatrix = beginpmatrix 5 -5 endpmatrix$
c. Perkalian Skalar $(2mathbfa)$:
$2mathbfa = 2 beginpmatrix 3 -1 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 3 2 times (-1) endpmatrix = beginpmatrix 6 -2 endpmatrix$
d. Dot Product $(mathbfa cdot mathbfb)$:
Dot product dari dua vektor $mathbfa = beginpmatrix a_1 a_2 endpmatrix$ dan $mathbfb = beginpmatrix b_1 b_2 endpmatrix$ adalah $a_1 b_1 + a_2 b_2$.
$mathbfa cdot mathbfb = (3)(-2) + (-1)(4)$
$mathbfa cdot mathbfb = -6 + (-4)$
$mathbfa cdot mathbfb = -10$
Contoh Soal 4.2:
Diketahui vektor $mathbfp = beginpmatrix 1 5 endpmatrix$ dan vektor $mathbfq = beginpmatrix -3 k endpmatrix$. Jika vektor $mathbfp$ tegak lurus dengan vektor $mathbfq$, tentukan nilai $k$.
Pembahasan:
Dua vektor dikatakan tegak lurus jika dot product mereka sama dengan nol.
$mathbfp cdot mathbfq = 0$
Hitung dot product dari $mathbfp$ dan $mathbfq$:
$mathbfp cdot mathbfq = (1)(-3) + (5)(k)$
$mathbfp cdot mathbfq = -3 + 5k$
Karena vektor-vektor tersebut tegak lurus, maka:
$-3 + 5k = 0$
$5k = 3$
$k = frac35$
Jadi, nilai $k$ adalah $frac35$.
>
Penutup
Melalui contoh-contoh soal di atas, kita telah meninjau kembali beberapa konsep penting dalam matematika kelas 11 semester 1. Penting untuk diingat bahwa memahami cara menyelesaikan soal adalah satu hal, tetapi memahami mengapa metode tersebut bekerja adalah kunci untuk penguasaan materi jangka panjang.
Siswa disarankan untuk tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga mencoba memahami asal-usulnya dan bagaimana konsep-konsep saling terkait. Latihan yang konsisten dengan variasi soal yang beragam akan sangat membantu dalam memperkuat pemahaman. Jika ada konsep yang masih membingungkan, jangan ragu untuk bertanya kepada guru, teman, atau mencari sumber belajar tambahan.
Semoga artikel ini menjadi bekal yang bermanfaat bagi para siswa dalam mengarungi materi matematika kelas 11 semester 1. Selamat belajar dan semoga sukses!
