Kunci Sukses UTS Matematika Kelas 8 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Ujian Tengah Semester (UTS) menjadi penanda penting dalam perjalanan akademis siswa. Khususnya di kelas 8 semester 2, materi matematika seringkali menghadirkan tantangan baru yang memerlukan pemahaman mendalam. Di semester ini, siswa biasanya akan dihadapkan pada topik-topik seperti teorema Pythagoras, garis singgung lingkaran, bangun ruang sisi datar (kubus, balok, prisma, limas), dan statistika dasar.

Memahami setiap konsep dan mampu menerapkannya dalam berbagai jenis soal adalah kunci untuk meraih hasil maksimal dalam UTS. Artikel ini akan menyajikan panduan komprehensif yang mencakup contoh soal-soal representatif dari materi kelas 8 semester 2, beserta pembahasan langkah demi langkah yang mudah dipahami. Tujuannya adalah agar siswa dapat berlatih, mengidentifikasi area yang perlu diperdalam, dan membangun kepercayaan diri menghadapi ujian.

Bagian 1: Teorema Pythagoras – Fondasi Geometri

Teorema Pythagoras adalah salah satu konsep fundamental dalam geometri yang akan terus digunakan di jenjang pendidikan selanjutnya. Teorema ini menyatakan bahwa dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya (sisi siku-siku). Rumusnya adalah a² + b² = c², di mana ‘a’ dan ‘b’ adalah panjang sisi siku-siku, dan ‘c’ adalah panjang sisi miring.

Contoh Soal 1:

Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi siku-siku 6 cm dan 8 cm. Berapakah panjang sisi miring segitiga tersebut?

Pembahasan:

Diketahui:

Sisi siku-siku (a) = 6 cm
Sisi siku-siku (b) = 8 cm
Sisi miring (c) = ?

Menggunakan Teorema Pythagoras:
a² + b² = c²
6² + 8² = c²
36 + 64 = c²
100 = c²

Untuk mencari nilai ‘c’, kita perlu menarik akar kuadrat dari 100:
c = √100
c = 10 cm

Jadi, panjang sisi miring segitiga tersebut adalah 10 cm.

Contoh Soal 2:

Sebuah tangga sepanjang 13 meter bersandar pada dinding sebuah rumah. Jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah 5 meter. Berapakah tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga?

Pembahasan:

Dalam kasus ini, dinding, tanah, dan tangga membentuk segitiga siku-siku.

Sisi miring (c) adalah panjang tangga = 13 meter.
Salah satu sisi siku-siku (misalnya, jarak ujung bawah tangga ke dinding, b) = 5 meter.
Sisi siku-siku lainnya (tinggi dinding yang dicapai, a) = ?

Menggunakan Teorema Pythagoras:
a² + b² = c²
a² + 5² = 13²
a² + 25 = 169

Untuk mencari nilai a²:
a² = 169 – 25
a² = 144

Untuk mencari nilai ‘a’:
a = √144
a = 12 meter

Jadi, tinggi dinding yang dicapai oleh ujung atas tangga adalah 12 meter.

Bagian 2: Garis Singgung Lingkaran – Hubungan Garis dan Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Materi ini seringkali melibatkan penerapan teorema Pythagoras dalam konteks geometri lingkaran.

Contoh Soal 3:

Lingkaran memiliki pusat O dan jari-jari 7 cm. Titik P berada di luar lingkaran sedemikian rupa sehingga jarak OP = 25 cm. Jika garis singgung dari P menyentuh lingkaran di titik T, berapakah panjang PT?

Pembahasan:

Dalam soal ini, jari-jari OT tegak lurus dengan garis singgung PT. Segitiga OTP adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di T.

Sisi miring (c) adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik P, yaitu OP = 25 cm.
Salah satu sisi siku-siku (a) adalah jari-jari lingkaran, yaitu OT = 7 cm.
Sisi siku-siku lainnya (b) adalah panjang garis singgung PT = ?

Menggunakan Teorema Pythagoras:
a² + b² = c²
OT² + PT² = OP²
7² + PT² = 25²
49 + PT² = 625

Untuk mencari nilai PT²:
PT² = 625 – 49
PT² = 576

Untuk mencari nilai PT:
PT = √576
PT = 24 cm

Jadi, panjang garis singgung PT adalah 24 cm.

Contoh Soal 4:

Dua lingkaran memiliki pusat A dan B. Jarak antara kedua pusat lingkaran AB = 26 cm. Jari-jari lingkaran A adalah 10 cm dan jari-jari lingkaran B adalah 6 cm. Jika PQ adalah garis singgung persekutuan luar, dengan P pada lingkaran A dan Q pada lingkaran B, berapakah panjang PQ?

Pembahasan:

Untuk mencari panjang garis singgung persekutuan luar, kita dapat menggunakan rumus atau membangun segitiga siku-siku. Cara membangun segitiga siku-siku adalah dengan menarik garis sejajar PQ dari pusat lingkaran yang lebih kecil (B) ke jari-jari lingkaran yang lebih besar (A).

Misalkan kita tarik garis dari B sejajar PQ yang memotong jari-jari lingkaran A di titik R. Maka terbentuk persegi panjang PRQB.

PQ = RB (sisi berhadapan)
PR = QB (jari-jari lingkaran B) = 6 cm
AR = AP – PR = 10 cm – 6 cm = 4 cm

Sekarang, kita memiliki segitiga siku-siku ARB, dengan sudut siku-siku di R.

Sisi miring (c) adalah jarak antara kedua pusat, AB = 26 cm.
Salah satu sisi siku-siku (a) adalah selisih jari-jari, AR = 4 cm.
Sisi siku-siku lainnya (b) adalah RB (yang sama dengan PQ) = ?

Menggunakan Teorema Pythagoras:
AR² + RB² = AB²
4² + RB² = 26²
16 + RB² = 676

Untuk mencari nilai RB²:
RB² = 676 – 16
RB² = 660

Untuk mencari nilai RB:
RB = √660
RB = √(4 × 165)
RB = 2√165 cm

Jadi, panjang garis singgung persekutuan luar PQ adalah 2√165 cm.

Bagian 3: Bangun Ruang Sisi Datar – Mengukur Dunia Tiga Dimensi

Bagian ini mencakup pemahaman tentang sifat-sifat dan rumus-rumus untuk menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar seperti kubus, balok, prisma, dan limas.

Contoh Soal 5 (Kubus):

Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Berapakah luas permukaan dan volume kubus tersebut?

Pembahasan:

Luas Permukaan Kubus: Kubus memiliki 6 sisi yang semuanya berbentuk persegi dengan ukuran yang sama.
Luas satu sisi = sisi × sisi = s²
Luas Permukaan Kubus = 6 × s²
Luas Permukaan = 6 × (5 cm)² = 6 × 25 cm² = 150 cm²
Volume Kubus:
Volume Kubus = sisi × sisi × sisi = s³
Volume = (5 cm)³ = 125 cm³

Jadi, luas permukaan kubus tersebut adalah 150 cm² dan volumenya adalah 125 cm³.

Contoh Soal 6 (Balok):

Sebuah balok memiliki panjang 10 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 8 cm. Berapakah luas permukaan dan volume balok tersebut?

Pembahasan:

Luas Permukaan Balok: Balok memiliki 3 pasang sisi yang berhadapan dan ukurannya sama.
Luas Sisi Atas/Bawah = panjang × lebar = p × l
Luas Sisi Depan/Belakang = panjang × tinggi = p × t
Luas Sisi Kiri/Kanan = lebar × tinggi = l × t
Luas Permukaan Balok = 2(pl + pt + lt)
Luas Permukaan = 2((10 cm × 6 cm) + (10 cm × 8 cm) + (6 cm × 8 cm))
Luas Permukaan = 2(60 cm² + 80 cm² + 48 cm²)
Luas Permukaan = 2(188 cm²) = 376 cm²
Volume Balok:
Volume Balok = panjang × lebar × tinggi = p × l × t
Volume = 10 cm × 6 cm × 8 cm = 480 cm³

Jadi, luas permukaan balok tersebut adalah 376 cm² dan volumenya adalah 480 cm³.

Contoh Soal 7 (Prisma Segitiga):

Sebuah prisma tegak memiliki alas segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku 3 cm dan 4 cm, serta sisi miring 5 cm. Tinggi prisma adalah 10 cm. Berapakah luas permukaan dan volume prisma tersebut?

Pembahasan:

Volume Prisma:
Volume Prisma = Luas Alas × Tinggi Prisma
Luas Alas (segitiga siku-siku) = ½ × alas segitiga × tinggi segitiga
Luas Alas = ½ × 3 cm × 4 cm = 6 cm²
Volume = 6 cm² × 10 cm = 60 cm³
Luas Permukaan Prisma: Terdiri dari luas dua alas segitiga ditambah luas tiga sisi tegak (persegi panjang).
Luas Dua Alas = 2 × Luas Alas = 2 × 6 cm² = 12 cm²
Luas Sisi Tegak 1 = alas segitiga × tinggi prisma = 3 cm × 10 cm = 30 cm²
Luas Sisi Tegak 2 = tinggi segitiga × tinggi prisma = 4 cm × 10 cm = 40 cm²
Luas Sisi Tegak 3 = sisi miring segitiga × tinggi prisma = 5 cm × 10 cm = 50 cm²
Luas Permukaan Prisma = Luas Dua Alas + Luas Sisi Tegak 1 + Luas Sisi Tegak 2 + Luas Sisi Tegak 3
Luas Permukaan = 12 cm² + 30 cm² + 40 cm² + 50 cm² = 132 cm²

Jadi, volume prisma tersebut adalah 60 cm³ dan luas permukaannya adalah 132 cm².

Contoh Soal 8 (Limas Segi Empat):

Sebuah limas segi empat beraturan memiliki alas berbentuk persegi dengan panjang sisi 10 cm. Tinggi limas adalah 12 cm. Berapakah luas permukaan dan volume limas tersebut?

Pembahasan:

Volume Limas:
Volume Limas = ⅓ × Luas Alas × Tinggi Limas
Luas Alas (persegi) = sisi × sisi = 10 cm × 10 cm = 100 cm²
Volume = ⅓ × 100 cm² × 12 cm = 400 cm³
Luas Permukaan Limas: Terdiri dari luas alas persegi ditambah luas empat sisi tegak segitiga sama kaki.
Luas Alas = 100 cm²
Untuk mencari luas sisi tegak, kita perlu tinggi segitiga pada sisi tegak (tinggi apotema limas). Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk oleh tinggi limas, setengah panjang sisi alas, dan tinggi apotema.
Panjang setengah sisi alas = 10 cm / 2 = 5 cm.
Misalkan tinggi apotema adalah t_a.
t_a² = tinggi limas² + (½ sisi alas)²
t_a² = 12² + 5²
t_a² = 144 + 25
t_a² = 169
t_a = √169 = 13 cm

Luas satu sisi tegak (segitiga) = ½ × alas segitiga × tinggi segitiga (t_a)
Luas satu sisi tegak = ½ × 10 cm × 13 cm = 65 cm²
Luas Empat Sisi Tegak = 4 × 65 cm² = 260 cm²

Luas Permukaan Limas = Luas Alas + Luas Empat Sisi Tegak
Luas Permukaan = 100 cm² + 260 cm² = 360 cm²

Jadi, volume limas tersebut adalah 400 cm³ dan luas permukaannya adalah 360 cm².

Bagian 4: Statistika Dasar – Membaca Data

Statistika dasar di kelas 8 semester 2 biasanya mencakup pengolahan dan penyajian data dalam bentuk tabel, diagram batang, diagram lingkaran, serta perhitungan ukuran pemusatan data seperti mean (rata-rata), median (nilai tengah), dan modus (nilai yang paling sering muncul).

Contoh Soal 9:

Berikut adalah data nilai ulangan Matematika 10 siswa: 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 7, 9, 6.
Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)

Pembahasan:

a. Mean (Rata-rata):
Jumlahkan semua nilai: 7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8 + 5 + 7 + 9 + 6 = 72
Jumlah data = 10
Mean = Jumlah Nilai / Jumlah Data = 72 / 10 = 7.2

b. Median (Nilai Tengah):
Urutkan data dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
Karena jumlah data genap (10), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Nilai tengah ke-5 adalah 7 dan nilai tengah ke-6 adalah 7.
Median = (7 + 7) / 2 = 7

c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul):
Hitung frekuensi kemunculan setiap nilai:
Nilai 5: muncul 1 kali
Nilai 6: muncul 2 kali
Nilai 7: muncul 3 kali
Nilai 8: muncul 2 kali
Nilai 9: muncul 2 kali
Nilai yang paling sering muncul adalah 7 (muncul 3 kali).
Modus = 7

Jadi, mean dari data tersebut adalah 7.2, mediannya adalah 7, dan modusnya adalah 7.

Tips Sukses Menghadapi UTS Matematika Kelas 8 Semester 2:

Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Usahakan untuk memahami mengapa rumus tersebut berlaku. Ini akan membantu Anda dalam menyelesaikan soal yang dimodifikasi.
Latihan Soal Beragam: Kerjakan soal dari berbagai sumber, mulai dari buku paket, LKS, hingga contoh soal ujian tahun sebelumnya. Variasi soal akan membiasakan Anda dengan berbagai tipe pertanyaan.
Buat Catatan Rangkuman: Buat ringkasan rumus-rumus penting dan konsep kunci untuk setiap bab. Ini akan memudahkan Anda saat belajar ulang.
Fokus pada Pembahasan: Saat mengerjakan soal, perhatikan langkah-langkah pembahasannya. Identifikasi di mana Anda sering membuat kesalahan dan perbaiki pemahaman Anda.
Manfaatkan Waktu dengan Efektif: Saat mengerjakan soal latihan atau simulasi UTS, atur waktu Anda. Belajar untuk tidak terpaku pada satu soal yang sulit terlalu lama.
Bertanya kepada Guru atau Teman: Jika ada materi atau soal yang tidak dipahami, jangan ragu untuk bertanya. Diskusi dengan teman juga bisa membuka perspektif baru.
Istirahat Cukup dan Jaga Kesehatan: Menjelang ujian, pastikan Anda mendapatkan istirahat yang cukup dan menjaga pola makan sehat agar kondisi fisik dan mental optimal.

Dengan persiapan yang matang dan strategi belajar yang tepat, UTS Matematika kelas 8 semester 2 bukan lagi momok yang menakutkan, melainkan sebuah kesempatan untuk menunjukkan penguasaan materi dan meraih hasil yang memuaskan. Selamat belajar dan semoga sukses!