Menguasai UKK Matematika Kelas XI Semester 2: Kumpulan Soal dan Pembahasan Mendalam

Ujian Kenaikan Kelas (UKK) merupakan gerbang terakhir bagi siswa kelas XI untuk membuktikan pemahaman mereka terhadap materi yang telah dipelajari sepanjang semester kedua. Matematika, sebagai salah satu mata pelajaran fundamental, seringkali menjadi fokus utama dalam penilaian ini. Memahami konsep-konsep kunci dan mampu mengaplikasikannya dalam berbagai tipe soal adalah kunci keberhasilan.

Artikel ini akan menyajikan kumpulan contoh soal UKK Matematika Kelas XI Semester 2 beserta pembahasan yang mendalam. Tujuannya adalah untuk memberikan gambaran yang komprehensif mengenai jenis soal yang mungkin dihadapi, serta strategi penyelesaian yang efektif. Dengan latihan dan pemahaman yang baik, Anda akan lebih siap dan percaya diri menghadapi UKK.

Ruang Lingkup Materi UKK Matematika Kelas XI Semester 2

Sebelum melangkah ke contoh soal, penting untuk mengingatkan kembali materi-materi utama yang umumnya diujikan pada semester kedua kelas XI. Materi ini biasanya meliputi:

Menguasai UKK Matematika Kelas XI Semester 2: Kumpulan Soal dan Pembahasan Mendalam

Trigonometri Lanjutan: Identitas trigonometri, persamaan trigonometri, aturan sinus dan cosinus, serta luas segitiga menggunakan trigonometri.
Geometri Dimensi Tiga: Jarak antara titik, garis, dan bidang; sudut antara garis dan bidang, serta sudut antara dua bidang.
Statistika: Ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran letak (kuartil, desil, persentil), ukuran penyebaran (jangkauan, simpangan kuartil, simpangan baku, variansi), dan pengolahan data berkelompok.
Peluang: Peluang suatu kejadian, peluang kejadian majemuk (saling lepas, saling bebas, kejadian bersyarat), dan permutasi serta kombinasi.
Limit Fungsi: Konsep limit, sifat-sifat limit, dan perhitungan limit fungsi aljabar dan trigonometri.

Mari kita bedah beberapa contoh soal dari materi-materi tersebut.

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1: Trigonometri Lanjutan (Persamaan Trigonometri)

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $sin(2x – 60^circ) = frac12$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:

Langkah pertama adalah mencari nilai sudut dasar yang memenuhi persamaan $sin alpha = frac12$. Kita tahu bahwa $sin 30^circ = frac12$.

Persamaan $sin alpha = sin beta$ memiliki dua solusi umum:

$alpha = beta + k cdot 360^circ$
$alpha = (180^circ – beta) + k cdot 360^circ$

Dalam kasus ini, $alpha = 2x – 60^circ$ dan $beta = 30^circ$.

Solusi 1:
$2x – 60^circ = 30^circ + k cdot 360^circ$
$2x = 90^circ + k cdot 360^circ$
$x = 45^circ + k cdot 180^circ$

Untuk $k=0$: $x = 45^circ$
Untuk $k=1$: $x = 45^circ + 180^circ = 225^circ$
Untuk $k=2$: $x = 45^circ + 360^circ = 405^circ$ (di luar rentang $0^circ le x le 360^circ$)

Solusi 2:
$2x – 60^circ = (180^circ – 30^circ) + k cdot 360^circ$
$2x – 60^circ = 150^circ + k cdot 360^circ$
$2x = 210^circ + k cdot 360^circ$
$x = 105^circ + k cdot 180^circ$

Untuk $k=0$: $x = 105^circ$
Untuk $k=1$: $x = 105^circ + 180^circ = 285^circ$
Untuk $k=2$: $x = 105^circ + 360^circ = 465^circ$ (di luar rentang $0^circ le x le 360^circ$)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $45^circ, 105^circ, 225^circ, 285^circ$.

Soal 2: Geometri Dimensi Tiga (Jarak Titik ke Bidang)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BDHF.

Pembahasan:

Kubus ABCD.EFGH memiliki sisi-sisi yang tegak lurus. Bidang BDHF adalah salah satu diagonal ruang yang membagi kubus. Titik A berada di salah satu sudut kubus.

Untuk menentukan jarak titik A ke bidang BDHF, kita perlu mencari panjang garis tegak lurus dari A ke bidang BDHF. Perhatikan bahwa diagonal AC dan FH berpotongan di titik pusat kubus, sebut saja O. Bidang BDHF memuat diagonal AC.

Jarak titik A ke bidang BDHF sama dengan jarak titik A ke garis AC jika kita melihat dari sisi depan kubus, namun ini bukan jarak tegak lurus ke bidang.

Cara yang lebih tepat adalah dengan melihat proyeksi titik A ke bidang BDHF. Titik A dapat diproyeksikan ke titik yang berada pada bidang BDHF. Perhatikan bahwa diagonal ruang AG tegak lurus terhadap bidang BDHF. Namun, kita mencari jarak titik A, bukan titik G.

Mari kita tinjau dari sudut pandang lain. Bidang BDHF adalah bidang simetri. Jarak titik A ke bidang BDHF adalah setengah dari jarak antara titik A dan titik G (diagonal ruang). Namun, ini tidak tepat karena AG tidak tegak lurus terhadap BDHF.

Kita perlu mencari proyeksi tegak lurus dari titik A ke bidang BDHF.
Perhatikan bahwa diagonal AC berada pada bidang ABCD. Diagonal FH berada pada bidang EFGH. Bidang BDHF memotong kubus.
Titik A berada pada bidang ABCD. Titik yang berhadapan dengan A pada bidang BDHF adalah titik H.
Perhatikan segitiga siku-siku ABH. AB = 6 cm, BH adalah diagonal sisi, $BH = sqrtAB^2 + AD^2 = sqrt6^2 + 6^2 = sqrt72 = 6sqrt2$ cm.
AH adalah diagonal ruang, $AH = sqrtAB^2 + BC^2 + CG^2 = sqrt6^2 + 6^2 + 6^2 = sqrt108 = 6sqrt3$ cm.

Titik A memiliki koordinat, misalnya A=(0,0,0).
B=(6,0,0), D=(0,6,0), H=(0,6,6), F=(6,6,0).
Bidang BDHF melalui titik B, D, H, F.
Vektor normal bidang BDHF.
Vektor $vecBD = D – B = (0,6,0) – (6,0,0) = (-6, 6, 0)$.
Vektor $vecBF = F – B = (6,6,0) – (6,0,0) = (0, 6, 0)$.
Vektor normal $vecn = vecBD times vecBF = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk -6 & 6 & 0 0 & 6 & 0 endvmatrix = mathbfi(0-0) – mathbfj(0-0) + mathbfk(-36-0) = (0, 0, -36)$.
Kita bisa gunakan vektor normal $(0,0,1)$.
Persamaan bidang BDHF: $0(x-6) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0 implies z=0$.

Ini salah. Titik F=(6,6,0) tidak berada pada bidang $z=0$ jika B=(6,0,0) dan D=(0,6,0).
Mari kita gunakan sistem koordinat yang lebih tepat.
Misal A=(0,0,0).
B=(6,0,0), D=(0,6,0), C=(6,6,0).
E=(0,0,6), F=(6,0,6), H=(0,6,6), G=(6,6,6).

Bidang BDHF melalui titik B(6,0,0), D(0,6,0), H(0,6,6), F(6,0,6).
Vektor $vecDB = B – D = (6,0,0) – (0,6,0) = (6, -6, 0)$.
Vektor $vecDH = H – D = (0,6,6) – (0,6,0) = (0, 0, 6)$.
Vektor normal $vecn = vecDB times vecDH = beginvmatrix mathbfi & mathbfj & mathbfk 6 & -6 & 0 0 & 0 & 6 endvmatrix = mathbfi(-36-0) – mathbfj(36-0) + mathbfk(0-0) = (-36, -36, 0)$.
Kita bisa gunakan vektor normal $(1, 1, 0)$.
Persamaan bidang BDHF melalui D(0,6,0) dengan normal (1,1,0):
$1(x-0) + 1(y-6) + 0(z-0) = 0$
$x + y – 6 = 0$.

Jarak titik A(0,0,0) ke bidang $x + y – 6 = 0$ adalah:
$d = fracsqrtA^2 + B^2 + C^2 = fracsqrt1^2 + 1^2 + 0^2 = fracsqrt2 = frac6sqrt2 = frac6sqrt22 = 3sqrt2$ cm.

Alternatif Solusi Geometri:
Perhatikan bahwa bidang BDHF adalah bidang simetri yang membagi kubus menjadi dua bagian. Titik A berada di satu sisi bidang tersebut.
Proyeksi titik A pada bidang BDHF adalah titik tengah dari rusuk AB yang bersesuaian dengan diagonal HF jika kita melihat dari sisi depan.
Sebenarnya, titik A diproyeksikan ke perpotongan diagonal AC dan BD pada bidang ABCD, tetapi ini bukan bidang BDHF.

Perhatikan diagonal AC dan diagonal BH. Kedua diagonal ini berada di sisi yang berbeda dari bidang BDHF jika kita memotong kubus.
Titik A dan titik G berada di sisi yang berlawanan dari bidang BDHF.
Jarak titik A ke bidang BDHF adalah jarak dari titik A ke titik potong diagonal bidang AC dan BD pada bidang ABCD, namun ini tidak tepat.

Mari kita perhatikan proyeksi A ke bidang BDHF.
Titik A dapat diproyeksikan ke titik P pada bidang BDHF sehingga AP tegak lurus bidang BDHF.
Perhatikan diagonal ruang AG. Diagonal ruang ini tegak lurus dengan bidang BDHF.
Titik A berada di salah satu sudut. Titik G berada di sudut yang berlawanan.
Jarak titik A ke bidang BDHF adalah sama dengan jarak titik G ke bidang BDHF.
Diagonal ruang AG memotong bidang BDHF di pusat kubus (titik O).
Jarak titik A ke bidang BDHF adalah setengah dari panjang diagonal ruang AG.
Panjang diagonal ruang kubus dengan rusuk $s$ adalah $ssqrt3$.
Dalam kasus ini, $s=6$, jadi panjang diagonal ruang $AG = 6sqrt3$ cm.
Jarak titik A ke bidang BDHF = $frac12 times AG = frac12 times 6sqrt3 = 3sqrt3$ cm.

Koreksi pada pembahasan geometri:
Diagonal ruang AG tegak lurus terhadap bidang BDHF. Titik potongnya adalah pusat kubus (O).
Jarak titik A ke bidang BDHF adalah panjang ruas garis AO, di mana O adalah pusat kubus.
Panjang diagonal ruang AG = $ssqrt3 = 6sqrt3$.
Pusat kubus O membagi diagonal ruang menjadi dua sama panjang.
Jadi, AO = OG = $frac12 AG = frac12 (6sqrt3) = 3sqrt3$ cm.

Kesimpulan untuk Soal 2: Jarak titik A ke bidang BDHF adalah $3sqrt3$ cm.

Soal 3: Statistika (Ukuran Penyebaran Data Berkelompok)

Berikut adalah tabel distribusi frekuensi berat badan 50 siswa:

Berat Badan (kg)	Frekuensi (f)
50 – 54	5
55 – 59	10
60 – 64	15
65 – 69	12
70 – 74	8

Hitunglah simpangan baku dari data tersebut.

Pembahasan:

Untuk menghitung simpangan baku data berkelompok, kita perlu menghitung rata-rata (mean), variansi, kemudian akar dari variansi.

Langkah 1: Menentukan titik tengah (xi) setiap interval.	Berat Badan (kg)	Frekuensi (f)	Titik Tengah (xi)
50 – 54	5	52	260
55 – 59	10	57	570
60 – 64	15	62	930
65 – 69	12	67	804
70 – 74	8	72	576
Jumlah	50		3140

Langkah 2: Menghitung rata-rata ($barx$).
$barx = fracsum (f cdot xi)sum f = frac314050 = 62.8$ kg.

Langkah 3: Melengkapi tabel untuk menghitung variansi.	Berat Badan (kg)	Frekuensi (f)	Titik Tengah (xi)	$f cdot xi$	$(xi – barx)$	$(xi – barx)^2$
50 – 54	5	52	260	$52 – 62.8 = -10.8$	$(-10.8)^2 = 116.64$	$5 times 116.64 = 583.2$
55 – 59	10	57	570	$57 – 62.8 = -5.8$	$(-5.8)^2 = 33.64$	$10 times 33.64 = 336.4$
60 – 64	15	62	930	$62 – 62.8 = -0.8$	$(-0.8)^2 = 0.64$	$15 times 0.64 = 9.6$
65 – 69	12	67	804	$67 – 62.8 = 4.2$	$(4.2)^2 = 17.64$	$12 times 17.64 = 211.68$
70 – 74	8	72	576	$72 – 62.8 = 9.2$	$(9.2)^2 = 84.64$	$8 times 84.64 = 677.12$
Jumlah	50		3140			1818

Langkah 4: Menghitung variansi ($s^2$).
$s^2 = fracsum f cdot (xi – barx)^2sum f = frac181850 = 36.36$

Langkah 5: Menghitung simpangan baku ($s$).
$s = sqrts^2 = sqrt36.36 approx 6.03$ kg.

Kesimpulan untuk Soal 3: Simpangan baku dari data berat badan siswa tersebut adalah sekitar 6.03 kg.

Soal 4: Peluang (Kejadian Majemuk)

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Akan diambil 2 bola secara acak satu per satu tanpa pengembalian. Tentukan peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua biru.

Pembahasan:

Ini adalah contoh peluang kejadian bersyarat, karena pengambilan bola kedua dipengaruhi oleh hasil pengambilan bola pertama (tanpa pengembalian).

Kejadian A: Bola pertama terambil merah.
Kejadian B: Bola kedua terambil biru.

Jumlah total bola = 5 (merah) + 3 (biru) = 8 bola.

Peluang terambilnya bola pertama merah ($P(A)$):
$P(A) = fractextJumlah bola merahtextJumlah total bola = frac58$.

Setelah bola pertama terambil merah, tersisa:
Jumlah bola merah = 5 – 1 = 4 bola.
Jumlah bola biru = 3 bola.
Jumlah total bola = 8 – 1 = 7 bola.

Peluang terambilnya bola kedua biru, dengan syarat bola pertama merah ($P(B|A)$):
$P(B|A) = fractextJumlah bola birutextJumlah total bola yang tersisa = frac37$.

Peluang terambilnya bola pertama merah DAN bola kedua biru adalah $P(A cap B) = P(A) times P(B|A)$.
$P(A cap B) = frac58 times frac37 = frac1556$.

Kesimpulan untuk Soal 4: Peluang terambilnya bola pertama merah dan bola kedua biru adalah $frac1556$.

Soal 5: Limit Fungsi

Tentukan nilai dari $lim_x to 2 fracx^2 – 4x – 2$.

Pembahasan:

Jika kita langsung substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $frac00$.
$frac2^2 – 42 – 2 = frac4 – 40 = frac00$.
Oleh karena itu, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

Cara 1: Faktorisasi
Pembilang adalah selisih dua kuadrat: $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$.
Maka, fungsinya menjadi:
$frac(x – 2)(x + 2)x – 2$
Karena $x to 2$, maka $x neq 2$, sehingga $(x – 2)$ tidak sama dengan nol. Kita bisa membatalkan faktor $(x – 2)$ di pembilang dan penyebut.
$frac(x – 2)(x + 2)x – 2 = x + 2$.

Sekarang kita substitusikan $x=2$ ke dalam bentuk yang disederhanakan:
$lim_x to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4$.

Cara 2: Menggunakan Aturan L’Hopital (jika sudah dipelajari)
Aturan L’Hopital dapat digunakan jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu $frac00$ atau $fracinftyinfty$.
Aturan L’Hopital menyatakan bahwa $limx to c fracf(x)g(x) = limx to c fracf'(x)g'(x)$.

Turunan dari pembilang $f(x) = x^2 – 4$ adalah $f'(x) = 2x$.
Turunan dari penyebut $g(x) = x – 2$ adalah $g'(x) = 1$.

Maka,
$limx to 2 fracx^2 – 4x – 2 = limx to 2 frac2x1 = frac2(2)1 = 4$.

Kesimpulan untuk Soal 5: Nilai dari $lim_x to 2 fracx^2 – 4x – 2$ adalah 4.

Tips Menghadapi UKK Matematika

Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus, tetapi pahami asal-usul dan logika di balik setiap rumus atau teorema.
Latihan Soal Variatif: Kerjakan berbagai macam soal, dari yang mudah hingga yang menantang. Perhatikan tipe soal yang sering muncul di ujian sebelumnya.
Buat Ringkasan Materi: Rangkum setiap bab penting dengan definisi, rumus, dan contoh soal. Ini akan membantu saat mengulang materi.
Kelompok Belajar: Berdiskusi dengan teman-teman dapat membantu memahami konsep yang sulit dan saling berbagi strategi penyelesaian.
Manajemen Waktu: Saat mengerjakan soal, perhatikan alokasi waktu untuk setiap tipe soal. Jangan terpaku pada satu soal yang sulit.
Istirahat Cukup: Pastikan Anda mendapatkan istirahat yang cukup sebelum hari ujian agar otak tetap segar.

Dengan persiapan yang matang dan pemahaman yang mendalam, UKK Matematika Kelas XI Semester 2 dapat Anda taklukkan. Selamat belajar dan semoga sukses!